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Es wäre ein Leichtes die Bedingungen für f(x) dadurch zu er- 

 weitern, dass man dieser Function beliebig viele, ja sich nach Puncten 

 zu unendlich verdichtende Stetigkeitsunterbrechungen gestattete. Allein 

 wir wollen uns damit nicht aufhalten, sondern gleich die viel allge- 

 meinere Annahme eintreten lassen, dass f(x) nur integrirbar zu sein 

 braucht. 



16. Der allgemeine Fall. Vorbemerkung. 



Es sei also nunmehr erstens 

 f(x) = a +^4 cos. x + bj sin. x) + (a 2 cos. 2x + b 2 sin. 2x) + . . . 

 eine integrirbare Function und zweitens mögen für n = oo a n und b n 

 verschwinden. 



Vielleicht folgt dies übrigens schon aus der ersten Voraussetzung 

 der Integrirbarkeit von f(x). Diese verlangt jedenfalls (wie leicht zu 

 zeigen) , dass in jedem kleinsten Intervall die Reihe einmal convergire. 

 Es handelt sich wieder um die Differenz 

 *(x)=-F(x)'r-F 1 (x) 

 der Functionen: 



a x 2 go & cos. px + b n sin. px 



F(x)=-^r S- 1 J 



P 2 



F 1 (x)=Jd«Jd/?fC/5). 



XI 



J I A 2 d x — B„ l = o. 



U " n I 



Xo 



Auf die nämliche Weise würde man beweisen, dass, wenn das Aggregat: 

 cpi (ai) cos. ca. x -\- (fi ( a-2 ) cos. «2 x -|- . . . 

 + if>i(ßi) sin. ßi x + \p2 ( ß- 2 ) sin. /Sa x -f- . . . 

 verschwindet, während die Grössen « , ß und die sämmtlichen Differenzen « p — er, , ß p — ß^ 

 unendlich werden, die Functionen <p und ip es sind, durch deren Verschwinden das Aggre- 

 gat Null wird. 

 13) Riemann über die Darstellbarkeit etc. Art. 10. Auch lässt sich das Verschwinden dieser 

 Integrale als besonderer Fall eines sehr allgemeinen Satzes auffassen. (Ueber den Gültigkeits- 

 bereich etc., Borch. Journ. Bd. 79, pag. 41.) 



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