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Würde die Grenze des Verhältnisses: 



/$_ <£(x + 's) — 2<£(x) + <P(x — f) 



-ff- ~ — -J2 » 



wie im Art. 14, Null sein, so wäre die Aufgabe damit gelöst, indem 

 man ganz wie dort weiter schlösse. Allein man sieht ohne Weiteres, 

 dass die Grenze nicht allgemein Null sein kann , wenigstens dass dies 

 nicht allgemein sich nachweisen lässt. Wir müssen demnach über diese 

 Grenze Einiges feststellen, um weiter vordringen zu können, und werden 

 dann von der Fundamentaleigenschaft der integrirbaren Functionen eine 

 Anwendung machen, die als Sitz der Kraft des hier vorzutragenden Be- 

 weises angesehen werden kann. Das Resultat wird schliesslich aller- 

 dings wie im obigen speciellen Falle sein , dass die Differenz F (x) — 

 Fj(x) eine lineare Function von x ist. 



I7 . Der Lim ^(F«-F, W ) . 



Bezeichnet man mit 0(x) und U(x) die Unbestimmtheitsgrenzen 



von f(x) = a + (a x cos. x + b x sin. x) + . . . so ist f(x) = <^(x) + j ^W» 



0(x) + U(x) , 0(x)-U(x) .' . ", 



(p(K) = , i//(x) = •— , (Art. 1 0). Es seien mit den 



Functionszeichen f, (p, ip die diesen Functionen entsprechenden Werthe- 

 vorräthe im Sinne des Art. 7 für den jedesmaligen Werth von x ge- 

 meint; und wenn diese Functionen für irgend einen numerischen Werth 

 von x direct berechnet gedacht sind, so will ich sie mit fj(x), <£>i(x), 

 ^(x) bezeichnen. Alsdann hat man (Art. 13): 



Lim ^— = <Pi(*) + J (y + ^T + y) ViO)- 



Weiter hat man 



X-f" fa x a X -f- f « 



J 2 F, (x) = J d a jd ß t(ß) - j d a ja ß f(ß) = J d a Jd ß f (/?). 



x x — f x a — £ 



Das Integral rechter Hand können wir zunächst schreiben : 



X-J-f 



da.« f ( ß i), 



