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Mit Hilfe dieser Daten kann man nun nachweisen, dass K(x) im 

 Intervall a 5= x <^ b nicht positiv sein kann, wie das willkürliche y auch 

 beschaffen sein mag. Denn wäre K(x) in diesem Intervall irgendwo 

 positiv, so müsste es, wegen der Stetigkeit von K(xj), für irgend einen 

 Werth x = x 1 , wo a < x 1 < b, seinen grössten Werth annehmen, so dass 

 bei hinreichend kleinem s 



K(x, + e) — K(x,)<o 



mithin J 2 K(x,) = K(x x + e) - 2 K (x,) + K (x, — e) ^ o 



würde und bei weiterer Verkleinerung von e bliebe. Aber J 2 K(x) wird 



bei hinreichender Verkleinerung von « ja positiv. Also ist 



K(x) = y H(x) - ±- (x - a) (b - x) g o 



wie man innerhalb beliebig vorgeschriebener Grenzen des numerischen 

 Werthes von y über diese Grösse auch verfügen möge. Daher ist auch, 

 wenn man, jenachdem H(x) positiv oder negativ ist, y gleich + 1 oder 

 — 1 setzt: 



mod. H(x) — — (x — a) (b — x) ^ o, 



d. h. der Ueberschuss von mod. H(x) über die Null kann durch Ver- 

 kleinerung von r beliebig verringert werden. Aber je kleiner man r 

 annimmt, desto kleiner muss auch die in H(x) eingehende Grösse ö 

 angenommen werden, und beide sinken gleichzeitig unter jede Grenze. 

 Soll also r unendlich klein sein, so werden die in H(x') = o eingehen- 

 den Summen, aus denen G(x) besteht, in Integrale übergehen. 



Aus H(x) = o 



folgt: G(x) = c + c x x 



und daher * a 



jF(x -r- a) d a - JF, (x + «)d«= c + c,x 

 o o 



C C 



oder: F(« L + x) — Fj (a l + x) = — -\ x , o < c^ 5^ a. 



Lässt man hierin a verschwinden, so folgt: 



F(x)-F 1 (x) = Lim m==0 {^+ X X } 



