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Betrachten wir die gemeine Sinusreihe: 



n n 



— f n (x) = sin. x d a f(ot) sin. et + sin. 2 x I d a f(«) sin. 2a 



o 



it 1 n 



+ sin. nx j d et f(«) sin. n ß=_ ^~ d a f («) 



Na — x . XT a + x 



— ^— sin. N — g— 



- . a — x . a + x 



2 sin. — ^— 2 sin. — g— 



> > 



wo N = 2n + 1. Dies Integral zerlegen wir in die Theile 



a b c n 



N-N 



o a b c 



wo wir o<a<b<x<c<7i annehmen, und a, x — b, c — x beliebig 

 klein uns denken. Falls f(x) im Intervall o ^ x <^ n endlich bleibt 

 und nur eine endliche Anzahl Maxiraa hat, wird für N = oo das erste, 

 zweite und vierte Integral verschwinden. Wird f(o) unendlich, so ist, 

 um die Wirkung davon zu beurtheilen, nur die Untersuchung des Inte- 

 grals von o bis a erforderlich , auf die wir uns beschränken. Dieser 



Theil des für — f n (x) vorstehend angegebenen Ausdrucks geht, wie 

 leicht zu bestätigen über in : 



a 



N 



1 x . x I sin. -y- a 

 — cos. N — sin. —t- dß.« f(ct) . cpfa) 



2 2 2 J a 



o 

 a 



1 X X f. 



— sin. N — cos. — 



A A. 1 



sin. N — cos. — I d a . a i(a) . y(a) cos. — a 



wo 



COS. -y Sin. -y- 

 V>(«) = J—u x\2 /. x «T2 , « ¥<«)= -,—a x\2 / . x «Tä 



I sin.g-cos.g- I -I sin.g-cos.jj" I Isin.ycos.yl — I sin.ycos.y l 



Die Grössen tp{o) und v(°) sm d weder Null noch unendlich. Falls 

 also Lim« — et f (et) nicht unendlich ist, hat man 



