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a 



/ 



LirriN — oo dß« f (a) (p (a) 



N 

 sin. -y a 



71 



LimN=( 



a 



döß 



f (o) »/'(ß) cos. — a = o. 



— Lim« = a f (cc) </)(a) 



N 



Die Sinusreihe convergirt also, wenn f(a) in der Nähe 

 von a — o nicht unendlich viele Maxima hat und wenn 

 Lim a f(«) = o, sie divergirt, wenn dann der Lim a f(«) nicht 

 = o ist. 16 ) 



• Nun werde die Function f(x) für x = a ( n < a < + n) so un- 

 endlich, ohne unendlich viele Maxima, dass ihr Integral, über die Stelle 

 x = a genommen, divergirt, dass aber Lim x==a (x — a) f(x) = o sei. 

 Wir werden dann also setzen dürfen: 



71 



— f (a + |) = sin. £ I d a f (a + a) sin. a + sin. 2 | I daf (a + «)sin. 2 a + . . 



71 



daf(a 



16) Das nämliche Resultat lässt sich noch einfacher bei der F o u ri er 'sehen Formel ableiten. 



Setzt man f(x) = — f(— x) in 7r f(x) = I d « I d ß i(ß) cos. a(ß — x), so ergiebt sich 



bekanntlich: 



oo oo 



O 00 



-y- f (x)= d a 1 d ß f(ß) sin. « ß sin. a x. 



Um zu finden wie stark f (ß) für ß =— o unendlich werden darf, lassen wir das Inte- 

 gral nach ß nur von o bis a gehen, nehmen x>aan und finden : 

 a ha 



H 



d ß i(ß) sin. a ß sin. « x = Lim, 



Lim 



h = OD 



I d « I d ß f(ß) 1 



o o 



a a 



J' „ £f(£) sin.h/3 . , C , a ßi 



d £ ffjS) ^ cos. cc (ß—x) — cos. « ( ß+x) 



1 



(/S) 



cos. h ß 



) 



woraus leicht das Weitere folgt 



