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der Integrale d(«)dc die in diesem Artikel angegebene Definition der 



a + 1 



Fourier' sehen Coefficienten zu Grunde gelegt wird. 



25. Gegenwärtige Beziehungen der beiden Hauptsätze des Art. 3 zu 



einander. 



Die beiden Hauptsätze des Art. 3: dass erstens zwischen den 

 Grenzen — n, + n eine Function nur auf eine Weise in e,ine 

 trigonometrische Reihe mit dem Gliede a p cos. px + b p sin. px: 

 entwickelt werden könne, und dass zweitens di e Coefficienten 

 dieser Reihe die Fourier 's che Form haben, diese beiden Haupt- 

 sätze der Theorie der trigonometrischen Reihen sind ihr durch die in 

 der Einleitung erwähnte und durch die vorliegende Untersuchung 

 nunmehr sicher eingefügt. Die Beziehung jener Sätze zu einander giebt 

 zu folgenden Bemerkungen Anlass. 



Es versteht sich von selbst, dass der erste Satz in demselben 

 Umfang in Bezug auf die Beschaffenheit der Function f (x) = a + 

 (aj cos. x + bj sin. x) + . . . . gilt, wie der zweite, und dass dies nicht, 

 umgekehrt werden kann. Deshalb ist der erste Satz ein selbständiger 

 und keine blosse Folge des zweiten : ein ähnliches Verhältniss, wie ich 

 es als zwischen den beiden Hauptsätzen der Theorie der darstellenden 

 Integrale bestehend angegeben habe (Allgemeine Lehrsätze etc., Borch. 

 Journ. Bd. 79, pag. 38, Einleitung). In unserem Falle verhält sich die 

 Sache so. 



Lassen wir uns die Annahme genügen, dass die Reihensumme f (x) 

 nicht unendlich wird, so darf sie doch noch, vermöge der durch den 

 zweiten Satz ihr auferlegten Bedingung der Integrirbarkeit in jedem 

 kleinsten Intervall einmal divergiren, während Herr Can tor den ersten 

 Satz nur unter der Voraussetzung beweist, dass die Divergenzpunkte 

 der Reihe eine gewisse Vertheilung zeigen, die aus jedem Intervall an- 

 dere Intervalle herauszuheben gestattet, in denen kein Divergenzpunkt 

 liegt. Insofern wird also durch den Gültigkeitsumfang, in welchem wir 



