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Anhang 

 über den Fundamentalsatz der Integralrechnung. 



Der wichtigste und nützlichste Satz der Integralrechnung, der 

 seinem Entdecker als etwas ganz Erstaunliches hatte erscheinen müssen,, 

 wenn dieser nur das Vermögen in Zahlen zu denken und gar kein 

 geometrisches Organ gehabt hatte: das ist der Satz vom Zusammenhang 

 zwischen dem unbestimmten Integral und dem bestimmten. Er lautet: 



Ist F(x) eine Function, die differenzirt die Function 

 f (x) liefert, und ist F(x) im Intervall A^x^ß stetig, so ist: 



Lim n = * { (x, — a) f (a) + (x 2 — x : ) f(x,) + . . . + (x — x n _ j ) f(x n _ i ) }> 



wo A < a < Xj < x. 2 . . . x n _i <x<B im nämlichen Intervall von 

 x genau gleich F (x) — F(a). 



Wenn man auch noch f(x) stetig oder wenigstens nur mit einer 

 endlichen Anzahl Sprünge behaftet voraussetzt, ist es leicht durch 

 geometrische Betrachtungen den Satz über allen Zweifel zu erheben. 

 Der Beweis ist dann so zu führen, dass man zeigt, wie der Limes der 

 Summe (Xj — a) f (a) + (x 2 — xj f (x,) -f- . ... mit dem bekannten Flächen- 



raum 



A. A. 



I f(«) d a identisch ist. Weiter findet man — d «f(«) = f( x )> 



d F (x) 

 und nach der Voraussetzung ist — -\ = f (x). Man hat dann nur 



noch zu zeigen, dass zwei Functionen die denselben Differentialquotienten 

 haben, sich nur durch eine Constante unterscheiden können. 



Indessen benützt erstens dieser Beweis geometrische Vorstellungen, 

 und der Analytiker darf sich erst zufrieden geben, wenn seine Theorien 

 so durchgeführt sind, als ob es g;ir keine Geometrie gäbe. Zweitens 

 wird der Beweis ganz ungenügend, wenn von f(x) nur die lntegrir- 

 barkeit vorausgesetzt wird, weil alsdann allerdings in jedem kleinsten 

 Intervall von x ein Punkt vorkommen wird, für den 



