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X 



^J d a f («) = f(x) 

 a 



ist (s. Versuch etc Borch. Journ. Bd. 79, pag. 21, Art. II letztes 

 Alinea), aber auch in jedem kleinsten Intervall Punkte existiren können, 

 für welche diese Gleichung nicht erfüllt ist (s. ebendort, Art. IV). 

 Der in Rede stehende Fundamentalsatz der Integralrechnung bedarf 

 also des Beweises. 



Die Voraussetzungen unter denen der Fundamentalsatz hier bewiesen 



werden soll. 



Was zunächst ohne Beweis einleuchtet, weil in der Definition ent- 

 halten, ist, dass man setzen darf: 



X 



J 



daf(a) = A(x) - A(a), 



falls wieder A<a<x<B, f(x) im Intervall A und B integrirbar ist, 

 und unter A(x) z. B. verstanden wird: 



t 



d a f (et). 



A 



Es kommt also nur auf den Nachweis von F (x) — F (a) = A (x) — A (a) 

 an. Dem Beweis, wie ich ihn unten führen werde, liegen über den 

 Differentialquotienten f(x) von F(x) folgende Voraussetzungen zu Grunde: 



Es sollen im Intervall A...B integrirbar sein die 



Functionen: 



F(x + e)~F(x) f( x-*)-f(x) 

 Lim e = o = f, (x) , Lim f _ — = t 2 (x) 



x X 



und wenn man setzt A y (x) = I d ce f x (ctj , A 2 (x) = d a f 2 («), so 



A A 



soll sein: 



A^x) = A 2 (x). 



