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x + p<5 



S (x , <T) = ^" d F (x + p <?) - n tf F(a) - ^ fd o f r (.«)", 

 p=^o p = o a 



wo n^ = ^ und x + J < ß sei. Wir finden sodann: 



S(x±£,(?) - S(x, (T) _ P = » F(xj { + pJ)- Fjx + pj) 



± c " p = o ±« 



p = n (J x + e-fp<5 



- 2 



f o ± £ Jd«f r (a). 



P 



x + pd 



Lässt man hierin e verschwinden, so ist leicht einzusehen, dass 

 die beiden Summen rechts für d = o sich derselben Grenze nähern. 

 Denn ein Element der ersten Summe wird: 



F(x + P (?± *)- F(x + pJ 



o Lim f — -j- 



± « 



d. i. J 1 f ! (x + p J 1 ) oder J f 2 (x + pJ). Und ein solches der zweiten Summe 

 ist zunächst (? f r (x + pc^zt e), o^e ^e, worauf e = o zu setzen ist. 

 Die Differenz beider Elemente ist entweder nicht grösser wie der grösste 

 Werthunterschied einer der Werthevorräthe ^(x), f 2 (x) im Intervall 

 x + (p — l) d . . . x + p^ oder x + pJ . . . x + (p + 1) J, oder nicht 

 grösser als der grösste Unterschied ^(x) — ^(_ x ) m den nämlichen In- 

 tervallen. 



Da nun die Summe dieser mit d multiplicirten Unterschiede ver- 

 schwindet, wenn d verschwindet, so kann d offenbar stets so klein 

 angenommen werden, dass durch genügende Verkleinerung von s die 

 Grösse 



S(x±€,<?)- S(x,(?) 



für jeden vorgelegten Werth x unter eine vorgeschriebene Grenze sinkt. 

 Ausserdem ist S(x,(5 v J eine stetige Function von x. 



Nun führen wir ein Intervall x . . . x, ein , welches dem Intervall 

 angehöre, in dem x sich bewegen darf, und setzen: 



q(x) = | S(x , <T) - S(x , <?) } ( Xl - x ) + j S(x, , ä) - S(x , <J)J (x - x ). 



Die Function (>(x) ist im Intervall x ^ x ^ x, stetig und man hat: 



*>(0 = o,(»(x,) = o. 



