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Also giebt es im Intervall x < x < Xj mindestens einen solchen 

 Punkt x y , dass die Differenzen p(x') — p(x' + «), p(x') — p(x' — «), 

 wenn sie von Null verschieden sind, gleiche Vorzeichen haben, und dass 

 unter denselben Umständen die Quotienten : 



p(x') — p(x' — c) p(x') — (>(x' -f e) 



verschiedene Vorzeichen haben. 

 Es ist aber: 



jJT^ = ( x . - x o) " -j£~ e |S(x x , J) - S(x , M 



Wir nehmen nun J so klein an, dass durch genügende Verkleinerung 

 von « das erste Glied rechts kleiner als eine sehr kleine Grösse r ge- 

 macht wird. Da die linke Seite entweder Null ist oder mit e ihr 

 Zeichen wechselt, so kann das zweite Glied rechts: S(x 1 ,J v ) — S(x , (?) 

 nicht grösser als t sein. Dasselbe Räsonnement gilt aber für jeden 

 Werth x : . Daraus folgt, dass S(x,(f), wenn c? unendlich klein ist, 

 unendlich wenig um einen constanten Werth schwankt, oder 



Lim,$-_ S(x , &) = constans. 



Nun war: 



p = n p = n * + P* 



S(x, (?) = 2#F(x + p<?) - ndF(a) - ^(Ndaf(a). 

 p = o P = o a 



Also findet man für n(? — J , (? = o: 



J J X -J- a 



S(x)=Jd«F(x + «)-z/F(«)- jdajdßf(ß) = constans, 



o o a 



oder 



X -f~ J X -f- d K 



J F (er) d er— d a d ß f (ß) = constans. 



x x a 



Setzt man x = a, um die Constante zu bestimmen, so findet man 

 zuerst: 



x -\- J x+^a a-f-^/ a -f- J cc 



J¥(a)da-j da jd ß f(ß) = j F (a) d a - J d a jd ß f (/?), 

 x x a a a a 



oder,, wenn mittlere Werthe genommen werden: 



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