Allgemeine Einleitung. 



Wenn ein brauchbares Verfahren entdeckt wird, eine sogenannte 

 willkürliche Function in eine Reihe der Form : 



A y (x) + A l(Pl (x) + ••• 



zu entwickeln, wo </> (x) , (fi(x) , • • • bestimmte mit jener zu entwickelnden 

 Function ausser Zusammenhang stehende Functionen sind, die Grössen 

 A , Aj,--- aber von x unabhängige Coefficienten vorstellen: so wird 

 eine solche PJntwickelung, welche der willkürlichen Function gleichsam 

 eine Uniform anzieht, und ihren besonderen Character in die constanten 

 Coefficienten verlegt, stets die Aufmerksamkeit der Analysten auf sich 

 lenken, und zwar um so nachhaltiger, je einfacher die Functionen cp 

 und die Coefficienten A zusammengesetzt sind. Daher waren auch die 

 allereinfachsten Reihenentwickelungen, die Potenzreihen und die trigono- 

 metrischen Reihen von jeher bevorzugter Gegenstand mathematischer 

 Speculation, so dass die Analysis den Untersuchungen, welche man über 

 diese Formeln oder doch mit ihrer Hülfe angestellt hat, ihre merk- 

 würdigsten Gebiete verdankt. r ) 



I) Die im Texte angeführten Reihen bleiben die merkwürdigsten Formeln der Analysis, trotz 

 der Loi supreme von Wronski, von dessen Bestrebungen ich durch mündliche Mittheil- 

 ungen Richelots und durch Aufsätze des Herrn Abel Transon iNouv. Ann. de Math. 

 II Serie, Tome XIII) Kunde habe. Herr Abel Transon spricht sein Befremden darüber 

 aus, dass die Mathematiker keine besondere Vorliebe für die Wr on s k i sehen „Gesetze" an 

 den Tag legen. Ich muss das Urtheil der Mathematiker in Schutz nehmen. Betrachten 

 wir Wronski 's allgemeinstes Ergebnis?, dass er irgend eine Funktion f(x) in jede Reihe 

 der Form A qp (x) -j- Aiqci(x) + .. . zu entwickeln lehrt, welcher Art die Functionen cp , 9P1 ... 

 auch sein mögen, so liegt, wie mir scheint, die Sache so: Ist die Möglichkeit der 

 Entwickelung nachgewiesen oder wahrscheinlich gemacht, so ist Wronski 's Coefficienten- 

 bildung, weil sie für alle Reihen dieselbe ist, und daher im gegebenen Fall äusserst 

 verwickelt ausfallen muss, im Allgemeinen unbrauchbar. Man versuche z. B. die Coef- 

 ficienten der Entwicklung nach Kugelfunctionen auf diese Weise zu bestimmen. Steht 

 dagegen die Möglichkeit der Entwickelung selbst in Frage, so ist die Form der Coefficienten 

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