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Die Potenzreihen und die trigonometrischen Reihen, so ungleich 

 ihr äusserer Eindruck auch sein mag, lassen sich doch als verschiedene 

 Erscheinungsformen ein und derselben unendlichen Operation auffassen, 

 als welche man nach Belieben eine von ihnen betrachten kann. Wenn 

 man aber genauer zusieht, so erkennt man, dass diese Verwandtschaft 

 mehr in den Bezeichnungen liegt, und dass zwischen den Potenz- 

 reihen und den trigonometrischen Reihen, wenn bei beiden die Voraus- 

 setzungen gemacht werden, welche ihre Eigenthümlichkeiten zur Geltung 

 bringen, dem Sinne nach ein tiefer Unterschied waltet. Um es kurz 

 zu sagen , die trigonometrischen Reihen sind ein Grenzfall der Potenz- 

 reihen, bei dem aber Voraussetzungen zulässig sind, ja in den Vorder- 

 grund treten, die der allgemeine Fall ausschliesst, wodurch sich dann 

 das Imaginäre als das eigentliche Gebiet der Potenzreihen erweist, 

 während die trigonometrischen Reihen, so weit an ihnen etwas Besonderes 

 ist, dem Reellen angehören. Führen wir dies nun genauer aus. 



wieder zu verwickelt, um die Convergenzprüfung der Reihe, in der sie auftreten, zu er- 

 möglichen. 



Aus diesen Gründen scheint, wenigstens vor der Hand, den Wronski'schen Ergebnissen 

 nur ein formales Interesse zugesprochen werden können. 



Von Anwendungen, die auf andere Reihenformen führen, abgesehen, wird man indessen 

 Wronski darin nur beipflichten können, dass er das Hauptgewicht auf die Form 

 AoSPo(x) + A.i<pi(x) -f- • •• legt, in der das Argument gleichsam aus der individuellen Function, 

 die nur noch in den Coefficienten A steckt, herausgeholt ist. Entwickelungen anderer 

 Gestalt giebt es die Fülle. Eine solche will ich als Beispiel hier anführen. Wenn in der 

 Formel 



et \ r C i tr \ sin h ( a ' 

 7lf(x) = hm h = x I daf(or) ^-~- 



n i. i.-, . „ 2n + l , . . 2n + 1 . u /, . " \ 



statt h geschrieben wird — — — , so hat man wegen sin — — — u = sin ^-1 1 — 2 2.cospu I : 



B b B 



7rf(x) = — I y(«,x)f(«)d« + J£" icospx I (jp(«,x)cospaf(a)da + sinpx I <p(a,x) sin paf(a)da!' 



P = l A 



K — X 



sin 



wo (p{u , x) = 2 — . Diese Reihe ist ihrer Form wegen merkwürdig. Sie geht in 



die Fouri ersehe Reihe über, wenn den beliebigen Grössen A,B die Werthe — rc,-\-n 

 ertheilt werden, und Eins statt cp gesetzt wird. 



