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Bekanntlich kann eine Potenzreihe 



f(z) = V(u p z» + v pZ -f) 



p = o 



als trigonometrische Reihe geschrieben werden , indem man p(cos cp + 

 i sin cp) für z einführt. Diese Umformung, durch die man die Function 

 F((p) — f(z) nach sin und cos der Vielfachen der reellen Grösse <p 

 entwickelt erhält, ist es nicht, die wir hier brauchen, da es den Charakter 

 einer trigonometrischen Reihe offenbar nicht verändert, wenn nur ihre 

 Coefficienten complex sind. Sie lässt sich dann ja aus zwei reellen 

 Reihen derselben Art zusammensetzen. Lehrreicher ist es umgekehrt 

 die trigonometrische Reihe als Potenzreihe aufzufassen, indem man setzt: 



f(z) = P ^"(a p cos pz + b p sin pz) = F(£) = 2°^ + v p £~ p ) , 



p = o p = 



a n + ib n a n — ib„ 



T — a— iz n — P P Tr — P 



wo r=e~ , u p =- £ -2 » v p 



Untersuchen wir die Convergenz der so erhaltenen Potenzreihe 



F(D =V(u/^ + v p £- p ) . 



p = o 



Es ist mod u p = mod v p = ]/a p + b p . Bezeichnet man mit R die grösste 

 Zahl für die R p \/a p + b p nicht mit p unendlich wird, so ist die Reihe 

 F(£) convergent im Ringgebiet zwischen den um 'Q = o als* Mittelpunct 



gezogenen Kreisen mit den Halbmessern — und R, falls nämlich R > 1 . 



R 



Ist R < 1 , so giebt es keine Convergenz, und ist R = 1 , so artet der 

 Convergeuzring in eine Kreisperipherie aus. Da nun mod 'Q — e y , so 

 erhalten wir, R = e T gesetzt, für f(z) folgendes Convergenzgebiet: Es 

 ist eingeschlossen zwischen den Geraden x = +Y, unter Y den grössten 

 Werth von y verstanden, für den noch ]/a p + b p e pY , oder a p e pT , b p e pY 

 nicht mit p unendlich werden. Ist dieser Werth Y gleich Null, so 

 artet das Gebiet in eine Linie aus, und ist Y negativ, so giebt es keine 

 Convergenz. Was aber für R == 1 oder Y = o in jener Ausartungs- 

 peripherie oder für f(z) in der Ausartungslinie y = o stattfindet, bedarf 

 einer besonderen Untersuchung. Die Functionentheorie im engeren 

 Sinne lehrt uns darüber nichts. . 



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