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Die Untersuchung der Convergenz einer Potenzreihe 

 in der Ausartungslinie ihres C on vergenzr i nges bildet den 

 eigentlichen Gegenstand der Theorie der trigonometri- 

 R einen. 



Denn wenn die Reihe f(z) ein Convergenzgebiet hat, so sind in 

 diesem Gebiet die Function f(z) und deren Ableitungen stetig. Umge- 

 kehrt, wenn f(z) oder deren Ableitungen unstetig sind, so kann dies 

 nicht innerhalb eines Convergenzgeb i ete s stattfinden. Die Convergenz 

 von f(z) wird sich auf die Ausartungslinie y = o beschränken müssen 

 Es folgt hieraus , dass die Fälle , in welchen die trigonometrischen 

 Reihen uns besonders merkwürdig erscheinen , lediglich der Analysis 

 des Reellen angehören. Die Thetareihen z. B., weichein der Jacobischen 

 Form wie trigonometrische Reihen aussehen, sind ihrem Wesen nach 

 Potenzreihen und haben vom Standpunkte der Theorie der trigono- 

 metrischen Reihen aus gar kein Interesse. 



Nachdem wir jetzt die trigonometrischen Reihen in zwei Klassen 

 eingetheilt haben, die erstere, mit Convergenzgeb ieten , welche wir als 

 Potenzreihen auffassen und ausscheiden, die zweite, mit einer Convergenz- 

 linie, welche wir als echte trigonometrische Reihen ansehen, so ist 

 noch mit einigen Worten auf die engere Benennung: Fouri ersehe 

 Reihen einzugehen. 



So pflegt man die trigonometrischen Reihen 



p = CO 



f(x) = JE (a p cos px + b p sin px) 



p = 



zu nennen, wenn ihre Coefficienten durch die Ausdrücke: 



7ia„ = 



j I daf(ß) , na v — I daf(«) cos p« , 7ib p = I daf(a) sin pa 



darstellbar oder richtiger dargestellt sind. Wir wissen gegenwärtig, 

 unter welchen genaueren Bedingungen dies möglich ist, und wissen 



