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seitigkeit seiner erfolglosen Anstrengungen die Ueberzeugung schöpfte, 

 dass die Dirichletsche Behauptung falsch sei, und wie auf solche Weise 

 er endlich auf den Weg geführt wurde, den er von vorneherein hätte 

 einschlagen sollen, nämlich seine Untersuchung genau da anzufangen, 

 wo Dirichlet die seinige, soweit sie gedruckt ist, hatte fallen lassen, 

 d. i. bei den Functionen mit unendlich vielen Maximis Aber eben nicht die 

 schwer zu bewältigenden allgemeinen Voraussetzungen über die Beschaffen- 

 heit der darzustellenden Function waren zu Grunde zu legen, sondern 

 es galt, das Problem möglichst zu vereinfachen, also zu beginnen mit 

 der Untersuchung der Entwickelbarkeit einer Function, wie etwa (>(x) 

 cos ip(x), wo (j(x) und y(x) für x = o ohne Maxima verschwinden, und 

 zusammengesetztere Functionen erst dann herbeizuziehen, wenn mit den 

 einfacheren die Grenze der Darstellbarkeit durch trigonometrische Reihen 

 nicht erreicht wurde. Als für diesen Zweck dienliche, nächst zusammen- 

 gesetztere Functionen waren, wie einige Ueberlegung zeigt, solche der 

 Form p(x) cos W(x) anzusehen , wo ^(x) , statt wie ip(x) ohne Maxima 

 unendlich zu werden, vielmehr in geeigneter Weise mit unendlich vielen 

 Maximis unendlich wird. Die auf die Darstellbarkeit der Functionen 

 bezüglichen Ergebnisse der angedeuteten Untersuchung waren kurzgefasst 

 folgende: 



Alle Functionen p(x) cos ip(x) sind, unter den obigen Be- 

 stimmungen über q(x) und y>(x), für x = o darstellbar, wogegen man 

 bei Einführung der Function p(x) cos ^(x) sogleich ein Gebiet 

 zum Theil nicht darstellbarer Functionen betritt. 



So wurde denn der durch das Convergenzproblem zu bohrende 

 Tunnel an beiden Enden, an dem der Convergenz und an dem der 

 Divergenz, gleichzeitig in Angriff genommen, und es gelang — mit 

 Hülfe einer gewissen neuen Rechnungsart sogar verhältnissmässig leicht 

 — dem practischen Bedürfniss jedenfalls vollauf zu genügen, und auch 

 eine vor der Hand wohl befriedigende theoretische Einsicht in diese 

 dunkelen Fragen zu gewinnen. Eine vollständige Einsicht keineswegs. 

 Vielmehr möchten gerade die nachfolgenden Untersuchungen hin- 

 reichenden Grund zu der Vermuthung enthalten , dass unsere analy- 

 tischen Hülfsmittel noch nicht ausreichen, um die allgemeine nothwendige 

 Bedingung für die Darstellbarkeit einer Function aufzustellen. Vielleicht 

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