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mannigfachen Fällen, die sie umfasst, etwas zusammengesetzt ausfallen 

 musste, ist eine kurze Uebersicht über ihren Gang voraufgeschickt, 

 pag. 7 — 11. 



Die in den Tabellen Art. 17 und 18 enthaltenen Grenzergebnisse 

 haben das Angenehme, dass sie uns in den Stand setzen, die für die 

 beiden Hauptsätze der Theorie gefundenen Gültigkeitsbedingungen an 

 einer hinreichend umfassenden Functionenklasse, für welche die noth- 

 wendigen Bedingungen der Darstellbarkeit bekannt sind, mit aller 

 Schärfe zu vergleichen. Dies geschieht für den ersten Hauptsatz im 

 zweiten, für den zweiten Hauptsatz im dritten Capitel. Da die allge- 

 meinsten unter jenen Gültigkeitsbedingungen die Untersuchung gewisser 

 Integrale auf die Art ihrer Convergenz, ob sie absolut oder bedingt 

 sei, erheischen, so ist diese Untersuchung auch ein wesentlicher Theil 

 des Inhalts der erwähnten Capitel, namentlich des dritten. Die Ver- 

 gleichung der Tragweite der verschiedenen Gültigkeitsbedingungen wird 

 durch die Figuren auf Tafel I und II übersichtlich gemacht. 



Nehmen wir zu den drei ersten Capiteln noch die erste Hälfte der 

 „Schlussbetrachtungen" dieser Abhandlung hinzu, so sind deren Ergeb- 

 nisse, so weit sie nur die Darstellbarkeit der Functionen durch trigono- 

 metrische Reihen betreffen, kurzgefasst diese: 



Wenn für einen Punct x : die Differenz 



ffxj - lim f(x) 



auf die Form p(x, — x) cos xp(x 1 — x) gebracht werden kann , wo p(x) 

 und y(x.)~ für x — o ohne Maxima Null werden, so ist f(xj) darstellbar. 

 Diese Bedingung gestattet bedeutende Erweiterungen, theils indem man 



00 



für die Function y(x) cos ip(x) eine Summe solcher Functionen -2p p (x) cos i/'pCx) 



l 



einführt, theils indem man den Cosinus durch eine trigonometrische 

 Reihe ersetzt. Von diesen Erweiterungen handelt der erste Theil der 

 Schlussbetrachtungen , wo sie indessen , da sie nicht ganz kurz zu er- 

 ledigen sind, auch wohl noch kein sehr hervorragendes Interesse bieten, 

 nicht vollständig durchgeführt werden. 



