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Zu erwähnen ist noch der im Art. 32 zur Sprache kommende Fall 

 der Nichtdarstellbarkeit einer Function, wo sie nämlich in einem Puncte 

 unendlich wird, während ihre trigonometrische Entwickelung in diesem 

 Puncte convergirt. 



Der Rest der Abhandlung, das vierte Capitel und die zweite Hälfte 

 der Schlussbetrachtungen beschäftigt sich mit der Darlegung der Be- 

 dingungen, unter denen die trigonometrische Entwickelung einer endlichen 

 und stetigen Function für einzelne Puncte divergirt. Es wird im 



a ' h 

 IV. Capitel zuerst gezeigt, dass der lim I daf(«) zwischen 



o 

 unendlichen Grenzen schwankt, wenn für f(x) eine Function sin ^(x) 

 genommen wird, die in Strecken, welche bei Annäherung an x = o gegen 

 Null abnehmen, periodisch ist, aber mit gleichfalls gegen Null abneh- 

 menden Perioden , so dass beim Wachsthum von h die Perioden von 

 sin ah unbegrenzt oft in aufeinanderfolgenden Strecken denen von 

 sin ^(x) gleich werden (Art. 34). Alsdann weise ich nach , dass sich 

 eine ohne Maxima verschwindende Function p(x) angeben lässt, so dass 

 auch für f(x) = p(x) sin ^(x) jener Limes verschwindet. 



Nachdem dies in Ordnung gebracht ist, tritt die Frage nach den 

 günstigsten Bedingungen für die Divergenz in den Vorder- 

 grund, und es ergiebt sich, dass für eine stetige Function die trigono- 

 metrische Reihe, durch eine Function ihrer Gliederzahl dividirt, welche 

 rascher als der Logarithmus unendlich wird, stets Null zur Grenze hat, 

 aber durch den Logarithmus oder eine langsamer unendlich werdende 

 Function der Gliederzahl dividirt, zwischen endlichen oder unendlichen 

 Grenzen schwanken kann. 



Bei dieser Gelegenheit zeigt sich noch, dass die divergenten trigono- 

 metrischen Reihen erst bei Functionen erscheinen , deren Differenzen 

 f(Xj) — lim f(x) für einzelne Puncte x x so langsam oder langsamer wie der 



reciproke Logarithmus von verschwinden. 



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