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ergiebt sich zunächst eine Eintheilung unserer Untersuchung nach dem 

 Unendlich von xp(a) bei verschwindendem a. Führen wir in J 2 statt u 

 die Veränderliche % ein, so folgt: 



a /(a) oo 



Ji / \ • C i da . . f', o(a) sin y 

 dcra(a) sin / = d/-~(7(ß) sm / = — d^-A/- ± . 

 J cl/ J ip'(a)-h 



Nun folgt aber aus : 



durch Differentiation: 



*(°) *(a) 



xV(ct) C\J 1- 



t//(a)oo - , 

 ~>~ a 



oder i//(a) = — '— — gesetzt, entsprechen, den vorstehenden drei Zeichen 



die Fälle: 



/t(«) oo 1 . 

 >- 

 Dadurch wird: 



J, aoYa) sii 

 d *~ ITT — 

 ah + ,u 



sin/ 

 («T 



Unter der Annahme u(a) ^ 1 ist dies Integral dann ersichtlich 

 unbestimmt zwischen endlichen oder unendlichen Unbestimmtheitsgrenzen, 

 falls nicht ao(a) << ah. -f- u(a). 



D. h. im günstigsten Falle darf o(a) höchstens ein Unendlich haben, 



das um ein Gewisses kleiner ist als das von — . Es ist also die Zer- 



a 



legung J = y^i — Y^2 ^r ii{a) ^ 1 ohne besondere Voraussetzungen über 

 o(a) nicht statthaft, die jedoch gerade die interessanteren Annahmen 

 über o(a) ausschliessen würden. Denn setzt man, wie es die Unter- 

 suchung der Fourier sehen Reihen verlangt, a(a) — , so muss, damit 



das Integral convergire, Q(a) jedenfalls ^ju(a) sein, und lehrreich sind 

 doch gerade die Fälle, wo p(«) unbeschränkt langsam Null wird. 



Falls ii(a) :>- 1 , ist die Zerlegung gestattet, so lange a(a) -^l xp'(a) 

 oder a{u) — y{a)\p'{a), wo y{o) = o, auf welche A n n ahme über a(a) 



