53 



III. Capitol. 



Prüfung der Regeln für die Gültigkeit des zweiten Hauptsatzes, 

 welcher dem Convergenzbeweis für die Fourierschen Reihen 



zu Grunde liegt. 



24. Angabe der Regeln für die Gültigkeit des zweiten Hauptsatzes. 



Wir wenden uns zur Prüfung der für die Gültigkeit des zweiten 

 Hauptsatzes 



/■ 



lin \ = oo I d«f(«)- -7(o) 



sin ah n 



2 







aufgestellten Bedingungen, welches auch die Bedingungen für die Dar- 

 stellbarkeit von f(o) durch eine Fouriersche Reihe oder ein Fouriersches 

 Integral sind, falls f(a) diese Bedingung nicht allein für a > o, sondern 

 auch für a^o, also innerhalb eines (beliebig kleinen) den Punct a = o 

 enthaltenden Intervalls, erfüllt. Es sind hier folgende Bedingungen 

 zu verzeichnen: 



I. Es genügt f(«) der Dir ichlet sehen Bedingung, d.h. es hat im 

 Intervall o 5^ « <^ a nur eine endliche Anzahl Maxima. 14 ) 



II. Die Lipschitzsche Bedingung: ff«) — f(o) wird nicht langsamer 

 als eine Potenz von a Null. 15 ) Noch etwas weiter geht die aus der 

 Regel IV unmittelbar fliessende Bestimmung (Borch. Journ. Bd. 79, 

 pag. 61, Art. 11 und diese Abh. Art. 26) dass 



f(«) ~ f(o) 

 x(«) 



nicht unendlich werden darf, r(a) im Sinne des Art. 21 verstanden. 

 In dieser Form will ich sie die Bedingung II nennen. 



III. Vorausgesetzt, dass f(a) differenzirbar ist, gilt der zweite Haupt- 

 satz für alle darstellenden Integrale, wenn dieses Integral: 



14) Crelle's Journ. Bd. 4, pag. 157, 



15) Borch. Journ. Bd. 63, pag. 236. 



