Beiläufig bemerkt, erhält man durch Addition des obigen Systems 

 X — X p + 1 = U X! + U^ -\ u p x p+1 



= x f u ° I ?L . U P 



1 1 + u 7 (1 + u )(l + uj (1 + u ) (l + Ul ) • • • (1 + u p ) 



woraus für p = oo folgt: 



1 - u ° | üi__ +.-- u p 



1 + u ' (1 -fu )(l + Ul ) (1 +u )(l +u x ) ••• (1 +u p ) 



oo 



ein (lediglich an die Bedingung 77(1 + u p ) = oo gebundener) Satz, den 



o 



ich mich nicht erinnere, erwähnt gefunden zu haben, und der gelegentlich 

 nützlich sein kann. Für 1 + u = 1 + u t ==••• — x folgt daraus die 

 gemeine geometrische Reihe. 



Für unsere Zwecke muss der logj 1 -| — -— -I oder die Grösse 



x — x 



— £^ -, d. i. die Grösse u p mit p unendlich werden. Man hat also zuerst 



x p 



u p >■ 1 . 



Weiter muss sein lim -p-— < 1 . Drittens muss sein 



h P 



x p h p 

 Endlich muss die Reihe 



1 ! 



p x P h P 

 für p = oo verschwinden, d. i. die Reihe 



_L + _L+... 



Xjhi x 2 h 2 



convergent sein. Unter diesen vier Bedingungen wird der lim _ 



a • u 



Jgin (xi± 

 daQ(a) sin ?F(a)— , wenn p(a) hinreichend langsam Null wird, 

 et 

 o 



divergiren. Nach dem Olivier-Abel sehen Satz muss lim 



x p d p 



ir 



