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sin ah 



J. . sin ah V , , . ,„ . sin t 

 äa()(a) sin W^a) , I dap(a) sin ¥\a) 



o o 



beide mit h unendlich werden, während die Function 3Pi(w) in den Intervallen 



(x — e x p + e p ) noch ganz beliebig ist. In diese Intervalle fallen 



die Sprünge der Function W(a) und wir können nun ohne Weiteres die 

 Function W x {a) so annehmen, dass nicht allein sie sondern auch beliebig 

 viele ihre Differentialquotienten im ganzen Intervall x p — e p <i a <i x p + « p 

 stetig sind, wie dies aus der Interpolationstheorie bekannt ist. Es sei 

 z. B. die Stetigkeit von W x {a) und von m Differentialquotienten dieser 

 Function im Intervall x p — « p <L a <^ x p + e p verlangt, so setzen wir in 

 diesem Intervall: 



W,(a) = S p (a) = a ( D p) + aa ( 1 p) + a 2 a ( 2 p) + . . . a n a ( n p) 



Für a > x p + c p ist zunächst W^a) = h p a, für a < x p — e p ist zunächst 

 ^(a) = h p+1 a. Man hat also die Coefficienten a ( q p) in SM so zu be- 

 stimmen, dass die Gleichungen erfüllt sind: 



Sp(x p — e p ) = hp+i(x p - e p ) 

 S p (x p + * p ) = h p (x p + e p ) 



S p( x P~ f p) = h P+i 

 S;(x p + f p ) = h p 



S p r \x p + f p ) = o ; r = 2, 3, ..m. 



Da dies 2m -f 2 Gleichungen sind, so darf n nicht kleiner als 2m + 1 

 sein. (Siehe die Figur links, Taf. III.) 



42. Stetigmachung der Function W. Sie wird durch eine mit allen ihren 

 Differentialquotienten stetige ersetzt. Vorbereitung. 



Schliesslich wollen wir noch zeigen, wie man eine Function *F 2 (a) 

 an die Stelle von W{a) setzen kann, die im Intervall o < a 5^ a mit 

 allen ihren Differentialquotienten stetig ist. 



Während wir im vorigen Art. die bei Annäherung an a = o unbe- 

 grenzt oft springende Function ¥*"(a) durch eine stetige Function W^a) in 

 der Weise ersetzt haben, dass wir in die Function W(a) in der Umgebung 

 der Sprungstellen stetig sich ändernde Strecken einfügten , so wollen 



