V P ( x » k ) : : ,7^ dßCth P • k *P e 



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wir jetzt anders verfahren. Man kann die unstetige Function nach der 

 von Fourier herrührenden Methode durch darstellende Formeln aus- 

 drücken, wobei die unstetige Function als Grenze einer stetigen sich 

 darbietet, in deren analytischem Ausdruck ein Parameter einen Grenz- 

 werth erhält. Setzt man z. B. 



b k(b-x) 



1 f , -kV-x)* 1 f / a \ -"* 



f(x,k) = -7= I d« (p(a) ke = — = d«dx + r e , 



\/nJ YtxJ \ kj 



a k(a — x) 



so erhält lim f(x,k) für a<x<b den Werth (f(x), und, wenn x 



ausserhalb dieses Intervalls liegt, den Werth Null. 

 Betrachten wir ferner dies Integral: 



Xp— I 



■k 2 * 2 P (ß — x) 2 



Xp 



welches in das erstere durch Vertauschung von ah p ,kz p ,x p _ l ,x p mit 

 (p(a) , k , a , b übergeht, so wird es im Intervall x p <c!<x p _ t gleich 

 xh p , ausserhalb Null werden, wenn k (und damit zugleich kx p ) unend- 

 lich wird. Bildet man dann weiter die Summe: 



p = 00 



p-1 



so kann man darin erstens , wie ich sofort zeigen werde , die * p stets 

 so bestimmen, dass die Reihe convergirt und unbegrenzt oft nach x 

 differenzirbar ist. Eine Reihe mit dem Gliede U p = u p e — Vp convergirt 

 u. A. wenn: 



lim[v p+1 — v p — (lu p+1 — lu p )J > o 



U , i . — ( v p — logup) 



ist. (Um dies zu beweisen, bilde man — ^±- mit U D = e .) 



u p 



Nun geben wir, indem wir die Bestimmungen des Art. 35 hinsichtlich 

 der Grössen x p ,h p festhalten, i/; p (x,k) die Form: 



l — k-Vp ( a — x) 2 



rr ' 2 p_1 x p äh p • k* p e , Xp^c^Xp.j . 



yn 



Es ist x p x p _ 1 hp = 1, und da ä<^x p _j ist, so ist vorstehender Aus- 

 druck höchstens: 

 Abh.d.II. Cl.d.k. Ak.d.Wiss.XII.Bd.II.Abth. 12 



