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— k 2 * 2 p(« — x) 2 



c\j 2 p * p e 



Die Grösse (ä ~ x) 2 nähert sich mit unendlich werdendem p 

 wachsend der Grenze x 2 , also reducirt sich die Behufs der Convergenz 

 der Reihe -£i// p (x,k) zu erfüllende Bedingung: 



lim|k 2 * 2 +1 (« 

 auf: 



x )p + i 



k 2 z 2 ( ö - x) p — 



(log 2 4 



" lo ^ 



p+i 



V 2 Y 2 lim/V . ._v 2, |- 



^k 2 lim* 2 1 



(n — Tc) 2 , , — in — 1 



:V 2 1 lim 



Yloßr2 4-lr 



welche z. B. für x p — p erfüllt ist. Dies würde sie auch sein, wenn 

 wir irgend einen nten Differentialquotienten von i// p (x,k) genommen 

 hätten statt dieser Grösse selbst. In der letzten Klammer hätte der 



log -^1 den Factor 2n+ 1 erhalten. So dass allerdings J£i/; p (x,k) 



beliebig oft differenzirbar ist. 



P = OD 



Im Ganzen hat also .Z-<//(x,k) die Eigenschaften: erstens zu 



p = q 



convergiren, zweitens sammt unbegrenzt vielen Differentialquotienten 

 eine stetige Function von x zu sein, drittens für k = oo , falls x 

 zwischen x r und x r _! liegt, wo r — 1 ^>q, den Grenzwerth xh r anzu- 

 nehmen. 



43. Stetigmachung etc. Einführung der mit ihren sämmtlichen Differential- 

 quotienten stetigen Function. 



Dies festgestellt, wollen wir die Function *F 2 (x) auf folgende Weise 

 bestimmen. Sie unterscheidet sich von der eben discutirten Summe nur 

 dadurch , dass auch k in jedem Gliede verschieden ist. Indem jedoch 

 kj < k 2 < . .. angenommen wird, hat die Summe 



¥ 2 (x) = ^ p (x,k p ) 



die eben hervorgehobenen drei Eigenschaften ebenfalls. Die k p be- 

 stimmen wir so. Wir unterscheiden die Intervalle 



(x 3 + e 3 . . . x 2 - f 2 ) , (x 2 + e 2 . . . x, — £j) , (x, + £,... x - e ) , 



die wir mit ... i 3 , i 2 , h bezeichnen und diese: 



