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■•(x 3 — e 3 ••• x 3 + f s) j ( x 2~ f 2 ••• x 2 + « 2 ) > (x x — e,---x, + «i) , (x — v--x ) 

 die wir mit . . . j 3 , j 2 , ji , j bezeichnen. 



Irgend eine der Grössen rp p (x , k) ist in Bezug auf ihre Veränderung 

 mit x beschaffen wie folgt. Bilden wir den Differentialquotienten : 



Xp — 1 



dy/ p (x,k) 2 C _kV P(a -x) 



^"" = v^J daßhp ' k3 ' 4ia ~ x)e 



Xp 



so ist er positiv in sämmtlichen Intervallen i p+1 , i p+2 , ••• negativ in 

 den Intervallen i p _j , i p _ 2 , ^ • .' 



Jetzt bestimmen wir eine Grösse k p so, dass ^ p (x,k p ) — xb p im 

 Intervall i p numerisch kleiner als J p sei, und dass in allen übrigen Inter- 

 vallen *// p (x,kp) selbst <? p nicht erreiche, was immer möglich ist, da 

 für k = oo beide Grössen: i// p (x,k) — xh p , i//(x,k), wenn x in den 

 bezeichneten Intervallen befindlich ist, verschwinden. Um die zweite 

 Forderung zu erfüllen , wird es genügen , wenn Jp durch y(x v — « p , k p ) 

 und V( x p-i + 6 p-i '^ P ) n icht mehr erreicht wird. Wenn nun diesen 

 Bestimmungen gemäss k x , k 2 , . . . in allen Grössen t// x (x , kj , i// 2 (x , k 2 ) , . . . 

 gewählt sind, so setzen wir: 



p = CO 



W,{x) = 2y>(x,* v ) 

 p = i 



und haben in irgend einem Intervall i r : 



W 2 (x) - f(x) < ^ + <? 2 + .-• in infin. 

 Die Grössen c^,«^»"* stehen in unserem Belieben. Setzen wir 

 c^ = yJ , (5*2 = -^d , d 3 = g-J , • • • wo (T ein vorgeschriebenes beliebig Kleines 

 vorstellt, so gelangen wir zu der Einsicht, dass es eine Function 

 von x 



Xp — 1 



|/?rp = i J 



p J 



Xp 



giebt, die unbegrenzt oft nach x differenzirbar ist, und 

 in den Intervallen i x , i 2 , . . . , welche sich beliebig nahe an 

 die Intervalle (xj ••• x ) , (x 2 ••• Xj) , ••• anschliessen,dieFunction 

 W bis auf einen Fehler unter vorgeschriebener Grenze d 

 darstellt. 



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