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nämlich einwerfen, dass die Nichtdarstellbarkeit von f(x) = p(a) sin W(a) 

 für a — o ganz und gar nichts Neues an sich habe, da ja die Function 

 T{a) im Puncte a — o unendlich sei, und somit der Sinus seinen Sinn 



« 



verliere. Läge z. B. die Function x sin - vor, so sei für x = o der 



.X. 



sim - ein Zeichen ohne Bedeutung, wie ja mit dem Zeichen -, wenn 



unter Null die Abwesenheit jeglicher Grösse verstanden wird, auch kein 

 Sinn verbunden werden könne. 



Indessen, wie angedeutet, ist auf Grund des richtigen Functions- 

 begriffs dies Bedenken leicht zu beseitigen. 



Ich will darauf kein Gewicht legen, dass man analytisch den Sinus, 

 der doch durch Umkehrung eines algebraischen Integrals erhalten wird, 



auch so definiren kann, dass x sin — für x = o Null ist; denn in unserer 



X' 



Function (j[a) sin W(a) ist V(a) eben keine hinreichend einfache Function, 

 um daran ähnliche Operationen durchführen zu können. 



Nun, wenn ich überhaupt von einer Function spreche, bin ich als- 

 dann an einen analytischen Ausdruck gebunden, oder ist sie nicht viel- 

 mehr gegeben, wenn ich festgesetzt habe , welchen Werth sie für jeden 

 numerischen Werth ihres Arguments vorstellen soll? Jetzt bestimme 

 ich eine Function f(x) durch die Bedingungen: 



1. f(o) = o 



2. Für x ^ o sei f(x) = ^>(x) sin W(x) im Sinne des Art. 35. Diese 

 Function ist für ein den Punct x = o enthaltendes Intervall stetig, für 

 ein ähnliches Intervall unter Ausschluss des Punctes x = o sogar mit 

 ihren sämmtlichen Differentialquotienten stetig, und gleichwohl für x = o 

 nicht darstellbar. 



Man kann übrigens aus der Function p(x) sin W(x) noch andere 

 nicht darstellbare Functionen erhalten, deren Kntwickelung nach 

 Fourierschen Reihen oder deren Ausdruck durch ein Fourier- 

 sches Integral in jedem kleinsten Intervall unendlich wird. 

 Denn bilden wir die Function 



f(sin px) = ^>(sin px) cos ¥*"(sin px) 



