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1. Fall. 



2. Fall. 



Führt man jedoch den üebergang so 

 aus, (lass (2. Fall): 



U = M„ + W, 



wird, so kommt : 



(-) = (% = v = 0, 

 und an Stelle der Gleichung (9) tritt die 

 folgende : „ 



<9 ) • • • • ■^^" = ■^■^' (-ä^TT " '^u } 

 während (8) bestehen bleibt. Diesen beiden 

 Fällen entsprechen die beifolgend gezeich- , 

 neten })enultimaten Formen des Dreiecks. 



Im ersten Falle zeigt die Linie a,, ein symmetrisches Verhalten gegen- 

 über den beiden Stücken u und u^. Da vermöge der Formel (9) dies 

 auch mit der Funktion .^i, gegenüber g und ^, der Fall ist, so schliesst 

 man auf folgende merkwürdige Eigenschaft dieser Funktion. Nach 

 Früherem ist g, das Mass der Breite des von ausgehenden Streifs 0/^„ 

 in dem Punkte F^. Weil nun der Ausdruck für g, bei Vertauschung von 

 a. g mit bezw. m,, .9,, also bei Vertauschung der Punkte und P^ sich 

 nicht ändert, so ist g, auch das Mass der Breite des von Po ausgehenden 

 Streifs P^^O in dem Punkte 0. Diesem neutralen Verhalten gegen die 

 Endpunkte entspricht die Bezeichung: „reducirte Länge von OPf^^^. 

 welche Herr Christoffel der Funktion g^ beigelegt hat. 



Eine andere ebenfalls von Herrn Christoff'el bereits bemerkte Eigen- 

 schaft der reducirten Länge ergiebt sich aus der deni\weiten Fall ent- 

 sprechenden Formel (B""). Differenzirt man dieselbe in der Weise, dass 

 man den Punkt sich in der Richtung P über hinaus um unendlich 

 wenig verschoben denkt, und bezeichnet man die Differentialquotienten 

 von g und ,^|„ die dieser Aenderung entsprechen, durch: 



so konnnt: 





Ott' duJ 



ö d (j 



du du 



du du, 



Abh. d. II. Ul. d. k. Ak. d. Wiss. XIV. Bd. II. Abth. 



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