124 



J (I = IX)., sin cf., — a»3 sin cfg 



Jh = u).^ sin /?3 — (o, sin /5, > .... (8) 



.7 c = CO, sin ;•', — (Oo sin ^^j 



und zwischen den Azimuthen und den Dreieckswinkeln die Beziehungen 

 (1) bestehen. 



Die hervorragende Bedeutung, welche die (rrösse Q für dieses Formel- 

 systeni besitzt, Avird noch durch den Umstand erhöht, dass die Differenz: 



sin a., sin ß^ sin ;', — sin r/.^ sin /?, sin y.^ 

 im Nenner der Ausdrücke für cy,, to.,. w., erscheint, die durch Umkehrung 

 der Formeln (8) sich ergeben. Verschwinden also die Grössen Ja, Jb, Je, 

 ohne dass die lo verschwinden, d. h. wird das Dreieck ohne Aenderung 

 der Seitenlängen verschoben, so werden die Winkeländerungen den Ver- 

 schiebungsgrössen der betreffenden Eckpunkte und den Differentialquo- 

 tienten der Grösse Q nach den Richtungen u proportional, welche auf 

 den Richtungen v) senkrecht stehen; Q selbst aber wird — 1. Nennt 

 man nun die drei Richtungen ««,, Uo. u.^, welche von den Ecken des Drei- 

 ecks 123 ausgehen, dann conjugirt. wenn die zu ihnen senkrechten 

 Verschiebungsrichtungen (o,, ui,, w.^ die Eigenschaft haben, dass längs der- 

 selben eine Verschiebung des Dreieclcs ohne Seitenänderung möglich ist, 

 so hat man den Satz, dass zwischen den Azimuthen der Drei- 

 ecksseiten in Bezug auf drei „conjugirte" Richtungen die 

 Gleichung: 



Q= 1 

 besteht, und umgekehrt folgt aus dieser Gleichung, dass die Richt- 

 ungen u conjugirte sind. Im Falle der Flächen constanter Krümmung, 

 wo eine Verschiebung ohne Seitenänderung zugleich ohne Winkeländerung 

 erfolgt, gehen conjugirte Richtungen, durch geodätische Linien verlängert, 

 offenbar immer durch einen Punkt der Fläche. 



Wenn die 3 Richtungen u conjugirte sind nicht nur für das Dreieck 

 1 2 3, sondern auch für ein Dreieck l'2 3, für welches der Punkt l' gegen 

 1 unendlich wenig in der Richtung m, verschoben ist, so ist Q auch für 

 dieses Dreieck gleich 1, und man hat: 



dO 



