133 



Ich definire nun ein anderes „ geodätisclies Coordinatensystein " m, v, 

 durch Annahme einer beliebigen krummen Linie P,^ auf der Fläche, längs 

 deren, von einem bestimmten Anfangspunkt aus, die Grösse Vy als Länge 

 aufgetragen wird. Senkrecht zu den Elementen der Linie OP^^ werden 

 geodätische Linien errichtet, auf diesen die Länge m, aufgetragen. Dann 

 liegen, nach einem Satze von Gauss, die Endpunkte gleich langer Strecken 

 wiedei'um auf Orthogonaltrajectorien der geodätischen Linien, längs deren 

 Vi constant ist. Soweit diese Letzteren verlaufen, ohne dass benachbarte 

 sich schneiden, sind die Punkte der Fläche durch die Coordinaten w, y, 

 eindeutig bestimmt. Damit auch das umgekehrte stattfinde, denke man 

 sich die Rotationsfläche aus unendlich vielen übereinander gerollten Blättern 

 bestehend, die sich gegenseitig so fortsetzen, dass sie, abgerollt, einen 

 unendlich langen Streif bilden. Entsteht durch den Schnitt benachbarter 

 geodätischer Linien eine Enveloppe,^) so beziehen sich die folgenden 

 Untersuchungen nur auf das bis zu dieser Enveloppe sich erstreckende 

 Flächengebiet. 



Dies festgesetzt, wird die Orthogonalität der Linien PPo und OP^ 

 unter Beibehaltung der oben eingeführten Beziehungen ausgedrückt durch 

 die Gleichungen: 



sin (% = y = — u^'; cos (%=Vl ^ — 2 = ^u V(n (2) 



wo ^<||', V,' die Differentialquotienten von w,,, v^, nach y, genommen bedeuten. 

 Es verdient gleich hier bemerkt zu werden, dass diese Bedingungs- 

 gieichungeu illusorisch werden, wenn die geodätischen Linien des Systems 

 M, v^ alle durch einen Punkt P,,? hindurchgehen, wenn also eine jener 

 Orthogonaltrajectorien PP,i sich in einen unendlich kleinen Kreis um 

 diesen Punkt zusammenzieht. Dann sind nämlich u^, Vq als Constante, 

 Uq, V,' einzeln also als verschwindend anzusehen, während indess der Quotient 



-tgv, .... (2^) 



— ^ als veränderlich, und zwar: 



5^0 -^0 

 anzunehmen ist, so dass in diesem Falle (•),, — y,, also 



1) Vgl. '/.. B. A. V. Braunmttlil, über Enveloppen geodätischer Linien. Math. Annalen Bd. 14 

 und Bd. -20. 



Abh. d. II. Ul. d. k. Ak. d. Wiss. XIV. Bd. II. Abth. 19 



