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In den Ausdruck (4) für g^ geht ausser den Funktionen m,,, z/,,, /. 

 von ^;^ noch die P'unktion g der Variabein u ein, welche mit m, und y, durch 

 die Gleichung- (1) verbunden ist. Die x\nnahme von g entscheidet bekannt- 

 lich über den Charakter der RotationsÜäche, auf welcher das Coordinaten- 

 system gelegen ist, während über das letztere durch Annahme einer der 

 Funktionen Woj^n, ffs^^, •^ von v, entschieden wird, und die drei anderen sich 

 durch diese vermöge der Gleichungen (2) und der Bedingung ausdrücken, 

 dass ^„ dieselbe Funktion von m,, wie g von u ist. In dem Ausdruck (4) 

 für gx sind also zwei wesentlich willkührliche Funktionen enthalten: Die 

 Funktion g von u und etwa die Funktion y. von v,. 



Je nachdem man (4) mittelst der Gleichungen (2) oder (2'') verein- 

 facht, d. h. je nachdem man die Anfangstra,jectorie als endliche Curve 

 oder unendlich kleinen Kreis anninunt. erhält g^ eine der beiden Formen: 



1 / '/'' — ^* , ' / r* Q du 



.(5) 



"0 



, . I (I du i , 



1) Vermöge die.ses Ausdrucks lassen sich die fundanieutalen Eigenschaften des geodätischen 

 Streifs in noch bequenierer Weise wie oben g 1 a. E. ableiten. Da nämlich längs eines solchen 

 Streifs die (irösse (j nur mit einer Variabein sich ändert, so lässt sich immer eine Rotationsober- 

 tläche finden, deren Meridianstreif hinsichtlich der durch Biegung nicht zerstörbaren Eigenschaften 

 mit dem gegebenen übereinstimmt, und es genügt, einen solchen zu untersuchen. 



Setzt man in (ö^-) z ^ o. so rückt der Pol Pq (Fig. in § 1) des Coordinatensystems tti Ci in den 

 Streifen, der sich längs der Linie u erstreckt, und man erhält zwischen den reducirten Längen der Linien : 



P^=Ui: ÖP^u; "(7Po = Ho 

 für welche alsdann die Gleichung: 



besteht, die einfache Relation : 



u 





"0 



C d II' 

 wo: <P(uJ= I -2" 



I unbestimmt integrirt) gesetzt ist. 



Die von den Herren Chri,stoffel und Beltrami (Rendiconti del Istituto Lombardo 1869) an- 

 gegebenen eleganten Eigenschaften der reducirten Länge einer geodätischen Linie folgen sä.mmtlich 

 aus dieser Darstellung mit Leichtigkeit. 



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