136 



Ist beisi^ielsweise die Orthogonaltrajectorie, von der man ausgeht, 

 selbst eine geodätische Linie, so hat man die Beziehung: 



g,, sin ( J + i-)^ -^ const. 



oder: 



,9,,'^ — -/^ — const. 



Im Fall, dass diese Constante verschwindet, ist die Trajectorie ein 

 Meridian, längs dessen sowohl 2«,, als v^ gezählt wird. Die unbestimmte 

 Form, die alsdann g^ enthält, umgeht man leicht, indem man durch 

 partielle Integration das in g^ auftretende Integral in die geeignete Form 

 bringt. 



Man kann den vorstehend aufgestellten Ausdruck für die reducirte 

 Länge des geodätischen Bogens auf Rotationsflächen dazu verwenden, um 

 eine partielle Differentialgleichung für dieselbe (oder vielmehr für eine 

 mit ihr genau zusammenhängende Funktion) herzustellen, welche im Wesent- 

 lichen mit derjenigen übereinstimmt, die auf anderem Weg Herr M. Levy 

 (Comptes Rendus 1878) für die reducirte Länge auf Rotationsflächen gefunden 

 hat. Definirt man nämlich eine Funktion r/) von u^ und v^ durch die Gleichung: 



g, </, = —;.' l/^2^T^ .... (6) 



— wobei indess der später besonders zu behandelnde Fall x =■ o aus- 

 geschlossen sein soll, — so wird wegen (4) 



AVg' — y^n 9' — ^^ 



c'U 



Daher ist: 



^^— . (7) 



Durch logarithmisches Differenziren bezüglich nach m, und v, ergiebt 

 sich aus dieser Gleichung: 



d log C/ j 1 d 



du, 2 du 



log (^) 

 ^-^ = -^- — log('^0 + ^. 



^ log (J, 



d 



