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daher, wegen: 



5'.. 





q r,a — — oy. cosh y.c smh 



oder : 



1 + c' sinh - 

 a z a 



y. 1 c ' 



cosn- 

 a 



wo ;<' und c' die Differentialquotienten von x und c nach y, sind, ^i kann 



also in die Form gebracht werden: 



q, — Ä sinh -^ + cosh—', .... (16) 



a u 



wo: ■ i, ^ ' 



sinn c 



. a 



cosh — 

 a 



ist. 



Der Ausdruck 15"" für g^, der einem geodätischen Polarcoordinaten- 

 system mit reellem Pol entspricht, ist unabhängig sowohl von der Lage 

 des Pols als auch von der Anfangslage der geodätischen Radien des Sy- 

 stems. Dies wird alsdann auch mit dem zugehörigen Ausdruck für das 

 Linienelement der Fall sein. Die Rotationsfläche der Tractrix ist demnach 

 in jeder Art in sich selbst verbiegbar. 



Andererseits kann die allgemeine Lösung der partiellen Differential- 

 gleichung : 



die eine Fläche von negativem Krümmungsmaass allgemein definirt, durch 

 Transformation der Variabein v, , wobei sich g^ mit einer Funktion von 

 Vi multiplicirt, auf die Form (16) für g^ immer gebracht werden. 



Durch die vorstehende kurze Rechnung ist also zugleich ein neuer 

 Beweis für die Verbiegbarkeit einer Fläche von constantem negativem 

 Krümmungsmaass in sich selbst geliefert. 



