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wo P diejenige Covariante 5. Ordnung von U ist, welche die fünf Ebenen des 

 Pentaeders darstellt, während Q eine andere Covariante 4. Ordnung ist. 

 Aus dieser Darstellung von H (H) folgt sofort, dass der Durchschnitt der 

 Fläche H mit ihrer Hesse'schen Fläche, d. h. die parabolische Curve 

 auf H, aus dem Durchschnitt vonU mitH, d. i. der para- 

 bolischen Curve von ü und aus den Schnitten der Penta- 

 ederebenen mit H, also den 10 auf H liegenden Pentaeder- 

 kanten, jede doppelt gezählt, besteht. Da die parabolische 

 Curve von U von der zwölften Ordnung ist, so ergibt sich der Durch- 

 schnitt von H mit seiner Hesse'schen Fläche von der Ordnung 12 -[- 2 . 10 

 ^32, wie es sein muss. 



Da die Pentaederkanten als Theile der parabolischen Curve der 

 Hesse'schen Fläche doppelt zu zählen sind, so ändert sich die Art der 

 Krümmung dieser Fläche nicht bei dem U eher schreiten einer dieser 

 Geraden und man kann daher sagen: Die Durchdringungslinie 

 einer Fläche dritter Ordnung und ihrer Hesse'schen bildet 

 die Grenzlinie zwischen dem elliptisch und dem hyper- 

 bolisch-gekrümmten Theil sowohl auf der einen wie auf 

 der andern Fläche. 



1. 



Um den obigen Satz zu erweisen, nehmen wir die Gleichung der 

 Fläche 3. Ordnung in der Form von fünf Guben an 



U = aiZ? + a^zl -f a^z^ + a.z^^ + a^z? = o, (1) 



wo die Gleichungen 



Z^ ^ O, Z2 = O, Zg = O, Z4 = O, Z5 = o 



die Gleichungen der Ebenen des Pentaeders der Fläche repräsentiren und 

 die in den z enthaltenen constanten Faktoren so gewählt sind, dass sie 

 die identische Relation erfüllen 



Zi + Z2 -h 23 + 24 + 25 = o. (2) 



Indem wir diese Annahme machen, setzen wir voraus, dass die 

 Fläche U ein vollkommen bestimmtes Pentaeder habe und auch nicht 

 zwei oder mehrere Ebenen des Pentaeders zusammenfallen.^) Dann er- 



1) Rodenberg, ^Zur Classifikation der Flächen dritter Ordnung." Math. Ann. Bd. XIV p. 46. 



