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gibt sich die Hesse'sche Determinante von U, abgesehen von einem Zahlen- 

 faktor, bekannthch in der Form 



Xi .«^ 9ji 3)0 äg äi Zj^ Z,) Zg Zi (*^ I 



und hieraus erhält man, wenn man bemerkt, dass vermöge der Relation 



dz 

 (2) T— ^ = — 1, u. s. w. ist, für die zweiten Differential-Coefficienten von 



H, indem wir ^, — -, — = H:. setzen, 



jijj ^^ u a^ a^ \^3 ^4 ^3 ^4 ~] ^-^ ^4 ^'^ ^4 — 1 ^2 ^3 ^'^ ^3/? 



H]2 = »1 aj (ag a,j Zg z^ -]- ag aj Zg z- -|- a4 a^ z^ z^) 



— ao a^ (^a^ ag Zj Zg — i — a^ a^ Zj z^ — j — ag a^ Zg z^) 



— a^ a^ ( ci2 a^ z.? Zg — — ao ai Z9 Zi — — ag ai Zg Zi ), 

 u. s. f 



Setzen wir zur Abkürzung 



3; Zj := Xj 



für i = 1, 2, 3, 4, 5, und 



XtX; + XiXk + x^Xb z= (hik), 

 so hat man 



(4) 



(5) 

 (6) 



H = -ZXiXgXgX^, 



H„ = -2aia5(234), 



H,2 = a,a2(345) — a2a5(134) — aia5(234), 

 u. s. f. 

 und die Hesse'sche Determinante der Hesse'schen Fläche wird hiemit 



H,,Hi2H,gHi4 

 H2, H02H23H2J 



H(H) 



tlgi Hggilgg rlg4 



(7) 



H41H42H43H44 



— 2aia5i234) . . a, a4(235) — a^a^Cl 23) — a, a5(234) 



aia2(345) — aoa5(134) — a,a,(234) . . a2a4(135J — a^a^ (123) — a2a5(134) 

 aia3(245)— a3aä(124) — a,a5(234) . . a3a4(125) — a4a5(123) — aga5(124) 

 aia4(235) — a4a5(123) — a,a5(234) . . — 2a4a5(123) 



