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Sei X,, der Coefficient von —^ in dieser Determinante, abgesehen vom 

 Faktor — (aj a, ag a4 a^ f, so ist 



Xn = —(145)-(123)^ — (135)2(124)- — (134)2(125)2 

 + 2(145)(135)(123)(124) + 2(145)(134)(123)(125) 

 + 2(135)(134)(124)(125), 

 oder, wenn 



A = (145) (123), B = (135) (124), C = (134) (125) 

 gesetzt wird, 



X„ = — A2 — B2 — C2 + 2 AB + 2 AC 4- 2 BC 



= _ A(A — B — C) — B (B — A — C) — C(C — A — B) (9) 

 Da durch Vertauschung des Indices 3 und 4 A und B sich vertauscht, 

 während C ungeändert bleibt, und ebenso durch Vertauschung von 2 und 4 

 sich A und C vertauscht, während B ungeändert bleibt, so gehen in 

 diesem Ausdruck das zweite und dritte Glied aus ' dem ersten durch Ver- 

 tauschung von 3 und 4, resp. 2 und 4 hervor. Nun ergibt die Multipli- 

 cation sofort (vermöge Gl. 6) 



A = X? (X2 + Xg) (X, -]- X5) + H, 

 B=xUx2 + x,)(x3 + X3) + H, 



C = X?(X3 + X,)(X2 + X5) + H, 



— A -I- B + C = 2 x2 (xa X3 + X, X5) + H, 

 A ( — A + B + C) = 2 xt (X2 + X3) (x, H- X5) (X2 X3 + X, X5) 



+ x? {(x2+X3)(x, + x,) + 2x2X3 + 2x,X5}H + H2 

 und wenn wir zu dem letzten Ausdruck die zwei Ausdrücke addiren, die 

 aus demselben durch Vertauschung der Indices 3 und 4 oder 2 und 4 

 hervorgehen, so erhalten wir nach (9)' Xu in der Form 



X„ = 4x1 . Six2x3X, + 4x2 . 8^X2X3 . H + 3 H2, 

 wo die Si symmetrische Funktionen der x in Bezug auf die Indices 2, 3, 

 4, 5 bezeichnen. Es ist aber 



X? . S, X2X3X, = Xi S1X2 . X, Si X2X3X4 — 4X? . X2X3X^Xä 



= X, .SiX2.(H— X2X3X4X5) — 4Xi.XiX2X3XiX5, 



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