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Die Determinante u lässt sich entwickelt unter die Form brinu-en 

 « = A'(A — B — C) + B'(B — A — C) + C (C — A — B), 

 wo A, B, C dieselben Grössen sind wie in den Gleichungen (10), hin- 

 gegen A\ B', C aus diesen Grössen hervorgehen durch Vertauschung 

 der Indices 1 und 2 ; es ist nämlich 



A' = (245) (123), B' = (235) (124), C = (234) (125). 

 Nach (10) ist also 



Ai = x^(x, +X3)(x, + X5) + H, 

 A> (A — B — C) :^ — 2 X? x^ (X, Ar Xs) (x, -j- x,) (x, X3 + x, x,) 



— 2 X? (X2 X3 + X, X5) H — x| (x, + X3) (X, 4- X5) H — H-. 



Die Vertauschung der Indices 3 und 4 führt diesen Ausdruck über 



in B' (B — A — C), die Vertauschung der Indices 3 und 5, wobei sich B 



nicht ändert, A und C aber sich vertauschen, führt ihn über in 



C (C — A — B) und wir erhalten mithin für u folgenden Ausdruck 



ß = — 2 X? X? {(xi H- X3) (x, + X5) (X2 X3 + X, X5) 



+ (X, A- X,) (X3 + X5) (X.X, + X3X5) 

 + (Xi + X5) (X3 + X4) (XoXä + X3X,)} 



— 2 X? .S, X2X3 . H — 2 xl] . S,x, X3 . H — 3 H- 

 wo S|, So symmetrische Funktionen der x mit den Indices 2 3 4 5, resp. 

 1345 bezeichnen. In der Klammer { — } ist der Coefficient von x, Xo 

 ersichtlich = 2 (345); die Coefficienten von Xj und Xo sind gleich, nämlich 



(X4 + X5) X,X5 + (X3 + X5) X3X5 -h (X3 + X,) X3X, 



. =(x3 + x, + x,)(345)- 3.X3X,x,. 

 Die Glieder endlich, welche weder Xi noch x^ enthalten, sind 



2 (Xg -|- x^ -L X5) Xg x^ X5, wofür wir setzen 



2 . XgX.Xä ^X, - 2 (X, -f X2) XgX.Xä 



und hiemit wird 

 ß = — 4x?x^ (345) — 2 x?xi (x, ^ x^) [(X3 + x, J- x,) (345) — 5 XaX.xJ 



— 4 X] Xo . Xj X2 X3 X4 X5 ^ X] — 2 xi' . Si Xo X3 . H — 2 x^ . So Xj Xg . H 



— 3H^ (15) 

 Was den 2. Theil von Xjg betrifft, so gibt die Multiplication der 



Faktoren (123), (124), (125) sofort ft in der F^orm 



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