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Hiernach erhalten wir für A folgenden Ausdruck 

 A = -- 36X1X3X3X4X5 • ü 



_ e^^^i^ {X1X2 + X1X3 + X1X4 + X,X5 -f X0X3 -f X2X4 -f XjXä)- H 



eil ^2 



+ 3 (^A - ^ ^ ) • H- 



\ clj eil ^2 



Multipliciren wir diesen Ausdruck mit — (aiaoaga^a^)'^, so ergibt sich 



endlich die Hesse'sche Determinante der Hesse'schen Fläche in der zu 

 erweisenden Form 



H(H) = 36PU-3QH (21) 



als Funktion vom 8. Grad in den Variabein und, wenn wir statt der x 

 wieder die z einführen, vom 16. Grade in den Coefficienten a. 



Setzen wir um abzukürzen a, a^ ag a4 a^ = t, so ist hier 



P = t- • Xi X2X3X4X5 = t* • ZiZ.Zg^^z^ (22) 



die Covariante 5. Ordnung und 15. Grads in den Coefficienten, welche 

 das Pentaeder von U bestimmt; ferner ist 



Q:=AH-2t-R, (23) 



wo 



die einfachste Invariante von U vom 8. Grade ist ^) und 



R = ^^jx. X, + (X. + X2) (X3 + X4 + X,) \ (25) 



dl (I2 ' ; 



= -S'2z, z, ja aoZjZo + (aiZj + a2Z2)(a3Z3 + a^z^ -]- a^Zä)} 



gesetzt ist. Es ist mithin t' R, wie auch Q eine Covariante 4. Ordnung 

 vom 12. Grad in den Coefficienten. 



Diese in Q enthaltene Covariante t" R lässt sich leicht durch einfachere 

 Covarianten von U ausdrücken. Denn man hat sofort 



^ = ^^ + ^ —^ ^'^* + ^^)(^^^ + ^^ + ^^^)- 



fll cl2 eil "-2 



I) Salmon „On quaternary Cubics". Phil. Trans, für das Jahr 1860. Vol. 150 p. 229. Auch 

 Salmon-Fiedler „Geometrie des Raumes" 3. Aufl. IL Theil. 



