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Anschliessend an dieses Resultat teile ich im Folgenden die Ab- 

 leitung der reducirten Länge für ein System von Flächen 

 mit, dessen Linienelement sich in der Form: 



ds'^ = (f(a) — F(/i)) (da- + dß') 

 darstellen lässt. Die Flächen dieses Systems sind die einzigen, ^) für 

 welche, Kotationsflächen und Flächen zweiten Grades ausgeschlossen, bis 

 jetzt die vollständige Integration der geodätischen Linien geleistet ist. 

 Die beiden letzteren Flächensysteme können jedoch als spezielle Fälle 

 dieses allgemeinen Flächensystems aufgefasst werden, so dass mein Aus- 

 druck für die reducirte Länge einerseits den für Rotationsflächen als 

 speziellen Fall enthält, andererseits aber für ein allgemeines Coordinaten- 

 system von angeführtem Character die reducirte Länge auf den Flächen 

 zweiten Grades gibt. Bekannt war dieselbe bis jetzt nur für den Bogen 

 einer geodätischen Linie, die durch die Kreispunkte eines Ellipsoides geht.^) 



Mit den im Folgenden entwickelten Formeln nahm ich nun das in 

 letzterer Zeit von verschiedenen Seiten besprochene Problem von Monge^) 

 in Angriff, welches verlangt, zu einer vorgelegten Fläche (Aus- 

 gangsfläche) diejenige Fläche (Originalfläche) zu be- 

 stimmen, für welche die gegebene eine Schale der Fläche 

 der Kründmungscentra bildet. 



Sind nämlich die Coordinaten irgend einer Fläche 

 in Funktion der Grössen a und ß bekannt, welche das 

 ElementderselbenindieForm: 



ds- = (f(a) — F(ß)) (da" + dß-) 

 überführen, so gelingt es mir, einerseits die Coordinaten der 

 Original fläche, andererseits aber auch, und zwar in Folge der 



1) Es mag bemerkt werden, dass das Linienelement dieser Flächen sich auch in die Form 

 ds^ = (y (X + y) -f- v (" — y)) d x dy bringen lässt. Zu ihnen gehören die Flächen, welche so in 

 einander transformirt werden können, dass die geodätischen Linien der einen wieder in geodätische 

 Linien der andern übergehen; vgl. hierüber: Dini Annali di Matematica t. IIl. Serie IL p. 269' — 

 und fern !r diejenigen Flächen, welche erst neuerdings S. Lie bezüglich ihrer geodätischen Trans- 

 formirbarkeit in sich selbst betrachtete: Untersuchungen über geodätische Curven, Mathematische 

 Annalen Bd. XX. 



2) Vgl. M. Roberts, Journal des Mathematiques par Liouville t. 15. Serie L 



•3) Application de l'analyse ä la geometrie, Ausgabe von Liouville, p. 246 — 286. 



