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und die Integration liefert: 



(J = Jl/f(a) — a d a + J|/a — Fiß)' ä ß .... 2) 



und 



li = - i'^J^= + L-^— = const 3) 



aa J v/f(a) - a ^J V^a - F(/?) 



ist dann die Integral - Gleichung der geodätischen Linien in der von 



da' 



Liouville gegebenen Form. Setzt man hier — t g «9^ = j^, so folgt aus 



der Differentialgleichung der geodätischen Linien 



da dß 



4) 



l/f(a) — a j/a — F{ß) 

 die wichtige Gleichung: 



f(a) sin '& + F{ß) cos '.9 = a. .... 5) 



Aus dieser Gleichung sieht man, dass ß^ derjenige "Winkel ist, unter 



welchem die geodätische Linie die Curven b = const. trifft; a ist längs 



dieser geodätischen Linie constant. Dieser Winkel «9^ heisst das Azimuth 



der geodätischen Linie. 



Integrirt man die Gleichungen 2) und 3) zwischen den Grenzen a^ 



und /?(!, indem man für « = «(,, ß ^ ß^ (> = o setzt, so erhält man die 



für das Folgende wichtigen Gleichimgen: 



." .ß 



(j = jVm _ a dß + J"'v/a— F(/S) dß, . . . . T) 



ßo 



"0 



"=- l^^^^*=+liA5 ^'' 



Cr. 



Wählt man auf der Oberfläche eine beliebige Curve, deren Bogen- 

 element da sei, und bestimmt einen Punkt P der Fläche, indem man 

 den Bogen a von einem festen Punkte A aus zählt und durch P eine 

 geodätische Linie legt, die diesen Bogen in P,, orthogonal schneidet, so 

 kann man AP(, = fr und PoP = (j als die Coordinaten des Punk^:es P 



