97 



auffassen. In diesem Coordinatensystem erhält nach Gauss 1. c. das 

 Linienelement der Fläche stets die Form: 



ds" = d(>^ -|- g," da'-'. 



Die Linien a =: const. sind die geodätischen Linien, die Curven 

 (> ^ const. die Orthogonal trajectorien derselben, die parallel zu der be- 

 liebig gewählten Anfangstrajectorie verlaufen. Diese kann sich auch auf 

 einen Punkt reduciren, dann erhält man ein gewöhnliches geodätisches 

 Polarcoordinatensystem. g, heisst die reducirte Länge des geo- 

 dätischen Bogens (> und ist im allgemeinen eine Funktion von q 

 und o. Unsere nächste Aufgabe ist nun die, von dem Coordinatensystem 

 der a und ß auf das der (j und a überzugehen, was uns auf dem näm- 

 lichen Wege gelingt, den zuerst Herr A. Brill in der Eingangs genannten 

 Abhandlung betreten. 



Für eine bestimmte geodätische Linie der Fläche, die durch den 

 Punkt «0, /?o geht und das Azimuth 6^0 i^i diesem Punkte besitzt, folgt 

 aus 5): 



fCs) sin '.9-0 + F(/?o) cos '9-^ = f(«) sin '& + Yiß) cos -.9- = a .... 6) 



Betrachtet man jetzt den allgeineinsten Fall eines geodätischen Polar- 

 coordinatensystems, indem man von dem Punkte P,, zu P^' um da weiter 

 geht, so variiren «oj ßoi ^o und () und folglich auch a. Hiernach erhält 

 man durch Differentiation der Gleichungen V) und 2^): 



d^ = V'f(a) — ä da + |/a — F{ß) dß — i\/i{a^) ^^ • 

 + V^^'W^) ß,') da, 



a) 



o = 



da 



l/f(«) 



+ 



dß 



!/a - F(/^) 

 ßo 



+ ( 



— Ja'j da. 



l/f(«o) - 



b) 



7) 



l/a - F{ß,) 

 Hier bedeuten a^, ß^ und a' die Abgeleiteten nach a, während 



dß 



J = 



^ J i^M^^' + ' J 



V^-Piß) 



8) 



ist. 



