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Ferner folgt aus der Gleichung 6) und der Orthogonalität der Linien: 



_ \/ä 



«A = 



A' = 



sin ^(, 

 l/f(ao) - F^ 



Wo) 



cos ^„ 



l/f(«o) - a 



.... 9) 



Drückt man mit Hilfe dieser Gleichungen ß^' durch a^ aus, eliminirt es 

 aus 7 und löst dann die Gleichungen nach da und dß auf, so erhält man: 



l/f(a) — ¥iß) d« = 



l/f(«) 



l/f(a) - F{ß) 



do — ^ = g, dfT, 



Kf(«) - W) 



/ j /D l/a — F(/:;) , , l/f(a) — a -, 



l/f(a) — F(/?) d/9 = l-.. ^Z^ d(> + V^ g, do, 



•^ ^ - ^ Vücc) - F(/S) ^ l/f(a) — F{ß) 



....10) 



wobei 



die gesuchte reducirte Länge des Bogens () in Funktion 

 von « und ß ist. 



Aus diesem Ausdruck von g, kann noch öq' mit der Gleichung 9) elimi- 

 nirt werden, wenn die geodätischen Linien sämmtlich orthogonal zu einer 

 willkürlichen Anfangstrajectorie sind. Man erhält dann: 



]/(ii"o) — a) (a — F(ßo)) 



Gehen hingegen sämmtliche geodätische Linien von einem reellen Pol 

 aus, so ist üff)' = o und 



gl = 2 |/(f\«) _ a) (a - F(ß)) (f(«o) — a) (a — F(p'ü)) • J H") 



Man hat nämlich in diesem Falle o = i% und sonach 



a = ^ = 2 V^(a - F(/So)) (f(«o) — ^ 



zu setzen. 



Diese Werte von g, bleiben nur so lange brauchbar, als J ^ o ist, 

 d. h., da J ^ o die Enveloppe ^) des Systems geodätischer Linien gibt. 



1) Vgl. meine Arbeiten über Enveloppen geodätischer Linien. Mathematische Annalen 

 Bd. XIV und XX. 



