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Krümmungsradien der Fläche längs des einen Systems von Krümmungs- 

 linien. Also erhält man die Coordinaten x, y, z eines Punktes der Original- 

 iläche ausgedrückt in den Coordinaten des entsprechenden Punktes S, -t], 'Q 

 der Ausgangsfläche durch die Gleichungen: 



X = .^ - (> - ; y - r/ - (> 3^ ; z = C - (> ^, .... 15) 



wo i) die doppelte Bedeutung des einen Krümmungsradius und des Bogens 

 der geodätischen Linie hat. 



Bezeichnet ferner (>' den anderen Krümmungsradius im Punkte x, y, z, 

 so erhält man die Coordinaten x', y', z des entsprechenden Punktes der 

 Complementärfläche, indem man auf der Tangente der Ausgangsfläche in 

 I, //, 'Q das Stück (> — (/ von diesem Punkte aus aufträgt. Der Endpunkt 

 dieses Stückes ist dann der verlangte Punkt der Complementärfläche, und 

 seine Coordinaten sind: 



X =c — ((> — (>)^ , y =/j — (^ — (>)^ , z =C — ((>-(>)— .... 16) 



Nun ist aber die Differenz der beiden Hauptkrümmungsradien des be- 

 treffenden Punktes der Originalfläche gleich dem Radius der geodätischen 

 Krümmung der Orthogonal trajectorie in dem Berührungspunkte der Nor- 

 malen (auf welcher die Krümmungsradien gemessen sind) mit der Aus- 

 gangsfläche und kann somit nach einer bekannten Formel^) durch die 

 Gleichung bestimmt werden: 



,-,' = |-, ....17) 



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 WO gl die Bedeutung der reducirten Länge des Bogens iJ hat. Wären 

 also die Coordinaten der Punkte der Ausgangsfläche, sowie g, in Funktion 

 von i) und a bekannt, so wären die Original- und die Complementär- 

 fläche sofort durch die Gleichungen 15) und 16) bestimmt. Dies findet 

 nun im Allgemeinen nicht statt; jedoch gelingt es, in unserem Falle, 

 wenn |, // und C in Funktion von a und ß bekannt sind, was z. B. bei 

 Kotations- und den dreiaxigen Flächen zweiten Grades der Fall ist, die 



1) Zum erstenmal wm-de die geodätische Krüiiimung einer Curve aufgestellt von Lionville: 

 Note II zu Monge's Application etc. 



