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vir. 



Lorsque n surpasse {p — 1) {q — 1), le coefficient de x", 

 dans X, est nul. Or ce coefficient a pour valeur, à cause 

 de la multiplication par (1 — x) (1 — x^'') : 



^{n) — <.{n — 1 ) — s5 [n — pq) -h 'f{ii — pq — 1 ) ; 

 donc 



'f W — ?('* — 1) = 'Af^ — pq) — ?(^^ — pq — 'i); 



et, si l'on suppose n==cf,pq-h^ : 



,^^n)- ^{n - \) = m- A?- \)' 

 On tire aisément, de cette équation, 



Mais : 



<^{apq) = a, 4- 1, '^(0) = i; 



donc enfin 



.(«) = « 4- .(|3). 



Ainsi, le nombre des solutions non négatives de Véqua- 

 tion 



ap -\- hq = apq -h ^, 



est égal au nombre des solutions de 



ap'\-bq=(i, 

 augmenté de cl (*). 



(*) Celle proposition peut êlre démontrée direclement {Mélanges ma- 

 thématiques, p. 22). 



