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Blättern bestehend aus dem a'^°, /?'*" . . . ;?*''" existirte, aus der kein 

 Uebergang in ein anderes Blatt führte, so seien y« Jß • ■ Jx die Werthe 

 von y, welche einem x in den genannten Blättern entsprechen. Dann wäre 



in — Jc<) i'i] — Yßl . . . (/; — y;cj = F (X ri) 

 eine einwerthige Function von x, weil jeder Weg nur die y„ Jß . . Jx 

 unter sich umtauschen würde, und folglich wäre f (x /y) reducibel, gegen 

 unsere Annahme. Es muss also ein Uebergang aus dem 1'" Blatte ins 

 V^ führen, aus einem der beiden ein weiterer Uebergang in das ,»'^ Blatt 

 u. s. w., womit unsere Behauptung bewiesen ist. Offenbar kann man 

 aber nicht mit weniger als n — 1 Uebergängen das Resultat erreichen. 



§ 2. 

 Ist (f (x y) eine rationale Function von x und y, so ist das Integral 



p 

 fy (xy) dx 



' Po 



von einem Punkte P,, der Fläche T nach einem andern Punkte P ge- 

 nommen nicht unabhängig vom Wege, über welchen integrirt wird. Ist 

 aber q) (x y) ein Integrand erster oder zweiter Gattung, wie bis auf 

 Weiteres angenommen werden soll, so kann man zeigen, dass 

 obiges Integral eine einwerthige Function vonP ist, wenn 

 man sich vornimmt den Integrationsweg nur durch funda- 

 mentale üebergänge zu führen. 



Zum Beweise braucht man, wie bekannt, nur darzuthun, dass das 

 fragliche Integral über eine geschlossene Curve erstreckt, die nur funda- 

 mentale Üebergänge überschreitet, den Werth Null hat. Hiezu dient 

 der folgende Satz I. 



Es sei s ein Uebergang, der von einer geschlossenen, sich selbst nicht 

 schneidenden Curve C in zwei Punkten vom c('^° ins /5'^ Blatt oder um- 

 gekehrt überschritten werde. Seien P Q zwei Punkte auf C hart an einem 

 Ufer von s, RS die gegenüberliegenden am andern Ufer. 



Wenn man nun, beim Durchlaufen von C, von P nach R und von Q nach S 

 gelangt, indem man stets in derselben Richtung weiter geht (Fig. 4)^), 



1) Die Figui-en sind hier, wie im folgenden, nur schematische. Die unmittelbar oberhalb s 

 liegenden Theile gehören in's «'^^ ^\[Q unterhalb liegenden in's /Ste Blatt. 



