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so kann man aus C die neue Curve C ableiten dadurch, dass man, 

 statt s zu überschreiten, auf dem einen Ufer von P nach Q und auf dem 

 andern von S nach R geht. Dann hat man in PQURSVP die Curve 



C, die geschlossen ist und dem Integral y (x y) d x denselben Werth 



verleiht wie C, weil die Werthe von q (xj) längs PQ mit denjenigen 

 längs RS übereinstimmen und die Richtung der Integration bei beiden 

 Ufern die entgegengesetzte ist. 



Fig. 4. Fiff. 5. 



•/- /q 





p 



KT ■'^^^ ') 



ü 



Wenn man aber, wie in Fig. 5, von P nach R und von S nach Q 

 kommt, so werden die beiden Wege R U S und P V Q keinen Punkt ge- 

 mein haben und die Curve C liefert also jetzt zwei getrennte Curven 

 C, = RUSR und C, =: PQVP und man erkennt, dass das Integral über 

 C gleich dem über C, -|- Cg ist. 



Wenn C den Uebergang s mehr als zweimal passirt, so ist der Satz 

 dennoch anwendbar, wenn man unter P R einerseits und Q S andererseits 

 zwei zunächst benachbarte Schnittpunkte versteht. Die Curve C im ersten 

 Fall, oder die C, 4- C^ im letzten Falle, schneidet aber s in zwei Punkten 

 weniger als C dies thut. Ferner erkennt man, dass die Curve C' im 

 ersten, bez. C, + ^2 inf^ zweiten Fall, jeden andern Uebergang genau ebenso 

 oft schneidet als C. 



Nun nehmen wir an s sei ein fundamentaler Uebergang und C über- 

 quere nur fundamentale Uebergänge. Dann muss die Anzahl l von 

 Schnittpunkten mit s gerade sein. Wäre sie ungerade, so könnte 

 man aus C nach dem Satz I entweder eine nicht zerfallende Curve oder 

 eine zerfallende Curve ableiten, die s in zwei Punkten weniger schnitte. 

 Im ersten Falle würde C in Ä — 2 Punkten s schneiden; im zweiten würde 

 entweder C, in /. — 2 /< Punkten schneiden und Co in 2 ,u — 2 oder C, in 

 /. — 2 fi — 1 und Co in 2 // — 1. Es ist aber, weil /l ungerade, auch 



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