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K — 2, k — 2 ,u, sowie 2 ,a — 1 ungerade; und man käme somit sicher 

 auf eine Curve die mit s weniger Schnittpunkte als Ä, aber wieder eine 

 ungerade Zahl gemein hat. Und so weiter gehend würde man schliess- 

 lich eine geschlossene Curve K finden, die s nur in einem Punkte träfe 

 und sonst nur fundamentale Uebergänge passirte. Auf dieser Curve K 

 könnte man dann ohne s zu passiren durch fundamentale Uebergänge 

 vom c{'^" Blatt in's ß^^ kommen und der fundamentale Uebergang s wäre 

 unnöthig, so dass man mit n — 2 solchen ausreichte, was nicht möglich ist. 



Eine geschlossene Curve, die nur fundamentale Ueber- 

 gänge überschreitet, muss also jeden eine gerade Anzahl 

 Male überschreiten. 



Nehmen wir nun in der vorigen Ueberlegung an /. sei gerade, so 

 ist Ä — 2 gerade, ebenso Ä — 2 a und 1 u — 2; dagegen sind l — 2 n — : 1 

 und 2 n — 1 ungerade. Da aber C, und Co wieder geschlossene Curven 

 sind, so ist der letztere Fall nicht möglich und folglich erhält man 

 Curven mit wenigen Schnittpunkten, die dem Integral denselben Werth 

 ertheilen wie C, so dass entweder 



,f = j" °-j- ,r = / + j 



ist. Indem man auf C oder C, und C^ dasselbe Verfahren anwendet, 

 kann man die Zahl der Schnittpunkte mit s noch weiter herabsetzen bis 

 man schliesslich zu einem System geschlossener Curven kommt, welche 

 einzeln s gar nicht mehr schneiden. Mit den andern Uebergängen ver- 

 fährt man ebenso und findet endlich, dass das über C erstreckte Integral 

 denselben Werth hat wie eine Summe von Integralen, von welchen jedes 

 einzelne über eine geschlossene Curve genommen ist, die gar keinen 

 Uebergang mehr passirt und folglich ganz in einem Blatte verläuft. Da 

 aber in einem Blatte y und folglich auch </) (x y) eine einwerthige Func- 

 tion ron X ist, so ist ein solches Integral ^ o und somit ist auch das 

 vorgegebene, über C erstreckte Integral = o, womit der am Anfang des 

 § angekündigte Satz bewiesen ist. Die Riemann'sche Fläche T, wenn 

 sie durch die Bedingung beschränkt ist, dass man nur fun- 

 damentale Uebergänge überschreiten darf, soll als Fläche 

 T' bezeichnet werden. 



