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. Also ist (f{xj)dx in T' eine einwerthige Function des Ortes P. 



' Po 



Sie ist aber bekanntlich keine stetige Function, sondern erleidet an den 

 Seiten von L Unstetigkeiten, auch dann, wenn man zwei Punkte als obere 

 Grenzen nimmt, die auf verschiedenen mit demselben Buchstaben be- 

 zeichneten Ufern sich gegenüberliegen. Sind P' und P" zwei solche 

 Punkte auf den beiden mit s bezeichneten Ufern, so ist die Differenz 



p, p„ 



jcp (x y) dx — J(/) (x y) d x, 



Pü Po 



beide Integrale in T' genommen, die nämliche, wo auch die unendlich 

 nahen Punkte P' und P" längs des Ueberganges s gewählt sein mögen ^). 

 Sie ist die zum Uebergange s gehörige Periode. 



Da bei den fundamentalen Uebergängen das Integral stetig ist, so 

 ist die Zahl der Perioden, weil einzelne = o werden können, 

 höchstens gleich der Zahl der nicht-fundamentalen Ueber- 

 gange, also 



= n (q + k) — 2 n + 1 = rr. 



Zwischen den Perioden bestehen eine Reihe von Gleichungen. Es 

 sei I irgend ein besonderer Werth von x und P (x — S) eine der nach 

 ganzen oder gebrochenen Potenzen fortschreitenden Reihen, welche für y 

 gesetzt der Gleichung f (x y) =: o genügen. Beschreibt nun x in E um j" 

 einen kleinen Kreis, so wird der entsprechende Punkt X der Riemann'- 

 schen Fläche eine geschlossene Curve beschreiben, wenn P (x — |) 



nach ganzen Potenzen fortschreitet, dagegen eine offene, wenn die Reihe 



1 



;" 



nach Potenzen von (x — ^) geordnet ist. Im letzten Falle muss x den 

 Kreis der Ebene E ,a-mal durchlaufen, bis X eine geschlossene Curve in 

 T beschreibt. Jedem Punkte ^ in E entsprechen soviele geschlossene 



1) Siehe hiefür z. B. C. Neumann, Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Inte- 

 grale. 2. Auflage. Leipzig 1884. Seite 192. 



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