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p 

 den Werth Null. Bezeichnet man mit (Pq P) das Integral jff(xy)dx, 



Po 



wenn sein Weg in T' verläuft, so entsteht durch Combination der beiden 

 Resultate 



o = (PoM") - (PoM') + (PoN") - (PoN') + . . + (PoZ") — (PoZ'). 

 Die Differenzen (PqM") ■ — (PqM') u. s. w. sind aber die den Ueber- 

 gängen m, n, . . . zugehörigen Perioden oder, je nach Definition, viel- 

 leicht auch das Negative derselben. 



Nennt man die Perioden bez. (m), (n) ... (z), so ist demnach (PqM") 

 — (PoM') = dz (m), je nachdem (m) definirt war, u. s. w. und somit hat 

 man die Gleichung 



± (m) ± (n) . . . dz (z) = o. 

 Da r Curven U existiren, so gibt es auch r solcher Gleichungen. Deren 

 linke Seiten sind aber nicht unabhängig. Ueberschreiten nämlich die 

 beiden Curven ü; und 11^ denselben Uebergang w (Fig. 7), die eine von 

 W zu W", die andere von W,' zu W," und integrirt Fig. 7. 



man beidemale im Uhrzeigersinne, so tritt in der linken "^x z' 

 Seite der Gleichung, die von U; herrührt, jj, mf (m^ 



(Po w") — (Po w) = ± (w) y f; 



dagegen in der andern Gleichung, die ü^. entspricht, 



(PoW,")-(PoW/) = ip(w) 

 auf, zwei Differenzen die entgegengesetzt gleich sind. Kommt also in der 

 einen Gleichung die Periode -|- (w) vor, so tritt in der zweiten — (w) 

 auf. Jeder Uebergang gehört aber auch nur zu zweien der Curven U, 

 von welchen er, an seinen beiden Enden, überschritten wird. Addirt 

 man also die sämmtlichen Gleichungen so entsteht o = o, so dass von 

 den r Gleichungen mindestens eine eine Folge der übrigen ist. Besteht 

 nur eine Beziehung zwischen den Gleichungen — wie dies nachher be- 

 wiesen werden soll — so kann man demnach v — 1 der Perioden linear 

 und ganzzahlig durch die übrigen ausdrücken, deren Zahl = a — {y — 1) 



q 

 = nq — JE cx — 2 (n — 1) 



= i(n — Ca) — 2(n— 1) = 2 4> 

 ist. ^ = 1 



