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§ 4. 

 Es soll nun bewiesen werden, dass in der That zwischen äen.y auf- 

 gestellten Gleichungen nur eine Beziehung besteht. Schreiben wir die 

 von der Curve U; herrührende Gleichung G; = o. Wenn man in allen 

 den Ausdrücken G, . . . G^ die a Perioden durch Variable x, x, . . x^ ersetzt 

 und die entstehenden Functionen mit gi g« . . . g,. bezeichnet, so fragt es 

 sich, ob eine Gleichung von der Form 



TiSi +/2g2 + ....^-g,.^o; 

 die wir kurz /'^o schreiben wollen, noch in anderer Weise möglich ist 

 als durch die Annahme ^, = ^o = • • = /*'• Da jede Periode nur in zweien 

 der Ausdrücken G; auftritt, so kommt jede Variable X; nur in zweien 

 der Functionen gj vor und zwar einmal mit dem Coefficienten ~{- 1, das 

 andere Mal mit dem — 1 versehen. 



Gesetzt x, käme in g, und gg vor, so hätte es in / ' den Coefficienten 

 71 — 72 und /'^EO würde y^ = yo verlangen. Enthielten g, und g, noch 

 eine Variable x^ die in ihnen zusammen genommen nur einmal vorkäme, 

 so müsste sie in einer andern Function etwa gg nochmals vorhanden sein. 

 Dann hätte x^ in /' den Coefficienten y^ — y^ und es müsste y<^ = y, sein. 

 In g, g2 gs möge nun ferner eine Variable Xg auftreten, die nur einmal 

 in diesen drei Functionen und also noch in einer vierten g^ sich findet. 

 Dann ergibt sich y^ = y^. Auf diesem Wege weitergehend kann man 

 offenbar die Gleichheit aller y-, nachweisen, wenn nur die eben wieder- 

 holt benützte Bedingung erfüllt ist, dass es immer in einer Gruppe von 

 Functionen g eine Variable gibt, die nur einmal in jener Gruppe auf- 

 tritt. Es soll jetzt gezeigt werden, dass dies stets der Fall ist, ausser 

 wenn die Gruppe die sämmtlichen Functionen g umfasst. 



Wenn in einer Gruppe gi, ga • • gh von h (< i') Functionen jede vor- 

 kommende Variable zweimal vorkommt, so heisst dies, weil ja die 

 Variablen an die Stelle der Perioden getreten sind: in den Ausdrücken 

 G|, Go, . . Gh kommt jede Periode zweimal vor; und dies sagt wieder aus, 

 dass jeder nicht-fundamentale Uebergang, der von einer der Curven 

 U,, U.,, . . U,, überschritten wird, auch noch von einer zweiten passirt wird. 



Man kann nun in einem einzigen zusanunenhängenden Zug die Ufer 

 aller nicht fundamentalen Uebergänge durchlaufen, so dass jedes 



