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Ferner folgen durch Subtraction die Beziehungen 



(!•'/)' =(I^) + t; (i-;,7 = (|t) + T-a; (i-^y =(|.?) — a; i^xy = {^x) 

 {ri'Cy ={7]t)—a; (r;^)' = (^ ^) — t - a; (rj ^y = (ri x) — r 



(^.9y = (t^) - r; (C^y = (ex) - T + a 



1^;.)' = (^;.) + a. 



Schreibt man 



A C . C D . D E . E F . FD' . D' C . C F' . F^E;^ . E' G 



als Bezeichnung des ersten Weges W, so ist der zweite W', der durch 

 „Elimination" der unterstrichenen Strecken CD u. s. w. entsteht, ge- 

 geben durch 



AC.C'F'.FD'.DE.E'G 

 wobei die CC, DD' u. s. w. weggelassen sind. 



Deutet man den Ort der Punkte irfQ&y. an, schreibt unter EF und 

 D' C bez. — o und — r; dagegen unter CD und F' E' resp. x und (T, 

 so ist der erste Weg 



A c C . C D . D r/ E . E F . F c D' . D' C . C ^ F' . F' E^ . E' x G 



T — (7 — T O 



und man erkennt die einfache Regel, dass das Integral zwischen irgend 

 zweien der Punkte $rj'Cdy. auf dem Weg W' genommen, gleich dem 

 zwischen denselben Punkten längs W genommenen Integrale ist plus der 

 Summe derjenigen der vier Grössen t, — a, — t, o, welche oben zwischen 

 den betreffenden beiden Buchstaben stehen. 



Es sei jetzt i/^(xy) eine zweite rationale Function von x und y; 

 indem man nur die Punkte eines bestimmten Weges — W oder W' — 

 betrachtet sei sie mit u(x) bezeichnet, wobei x einen Punkt dieses Weges 

 darstellt. 



Wir bilden nun 



J' = Ju(x)(Ax)'dx 



über W' genommen, wo (Ax)' das von A bis x über W genommene 



j (f{xj)dx bezeichnet. Zerlegt man J' in 5 Theile und bezeichnet den 



einzelnen Theilen entsprechend x durch Si]'Q,'^ oder y, so wird, wenn 

 man von den Gleichungen I Gebrauch macht 



