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J, = (a) (B) - (b) (A) + (c), (D), — (d)i (C), + (e), (F),, 



+ (m),_, (N)p_, - (n)p_, (M)p_i. 

 Die linke Seite ist aber = o. Denn das Integral (/)(xy)dx hat in 

 zwei gegenüberliegenden Punkten eines der in Rp noch auftretenden Ueber- 

 gänge denselben Werth (§7) und da das ganze Integral 



Jv;(xy)dx J (f'{xj)d x 



an den beiden Ufern entlang in entgegengesetztem Sinne erstreckt ist, so 



entsteht Null. Weil ferner jede Curve ü; ganz umlaufen wird und der 



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Integrand in seiner Entwickelung ein Glied mit t. nicht enthält, so 



X s 



hat auch der auf U; bezügliche Integraltheil den Werth Null. Somit hat 



man die Gleichung 



o = (a) (B) - (b) (A) + (c), (D), - (d). (C), + . . . 



+ (m)p_, (N)p_, ~ (n)p_, (M)p_„ 



welche die zwischen den fundamentalen Perioden der beiden Integrale 



(/) (x y) d X und I )/' (x y) d x 



bestehende bilineare Gleichung in der von Riemann gegebenen Form 

 darstellt. 



§ 9- 

 Die Betrachtungen der früheren §§ setzen ein Integral erster oder 

 zweiter Gattung voraus. Wenn dagegen ein Integral vorliegt, das für 

 gewisse Entwickelungen logarithmisch unendlich wird, so ist die Fläche 

 T' nicht mehr zu einer eindeutigen Darstellung geeignet, wenn nicht etwa 

 die fraglichen Reihen zu einem Verzweigungs- oder Knotenpunkte von L 

 gehören. Sind die Punkte der Fläche T, für welche das Integral loga- 

 rithmisch unendlich wird und die weder Verzweigungspunkte noch Knoten- 

 punkte sind, die Q, Qg . . Qi, so wird man am einfachsten jeden dieser 

 Punkte durch eine Curve, die in dem Blatt verläuft in dem er liegt, mit 

 einem Eckpunkt des Liniensystems L in Verbindung setzen und zwar so, 

 dass diese Curven keine Seiten von L treffen. Die 1 Curven seien a,. 

 Sb2 ■ • &!• Setzt man nun fest, dass sie nicht überschritten werden dürfen, 

 so entsteht aus T' die neue Fläche T", in der das liitegral eine ein- 



